§3. Формули Ньютона-Котеса

Розглянемо детальніше формули Ньютона-Котеса відкритого типу при і замкненого типу при i .

Поклавши в (3) , дістанемо таку рівність

, (7)

яка називається формулою середніх прямокутників. Розбиваючи відрізок на рівних частин довжини , матимемо

,

де , , . Застосувавши до кожного з інтегралів у сумі формулу (7), знайдемо складену формулу середніх прямокутників.

, (7`)

де , – залишковий член квадратурної формули на – му інтервалі.

Поклавши в (3) , отримаємо рівність

, (8)

яка називається формулою трапецій.

За допомогою зображення

, , із формули (8) отримуємо складену формулу трапецій:

, (8`)

де , – залишковий член на -му інтервалі.

Якщо покладемо в (3) , , то дістанемо рівність

, (9)

яка називається формулою Сімпсона.

Використовуючи рівність

,

де , , із формули (9) отримаємо складену формулу Сімпсона

, (9`)

де , – залишковий член на інтервалі .

Формула середніх прямокутників має алгебраїчний ступінь точності , а формула Сімпсона – .

Формули (9), (9`) інколи називають формулами парабол. Назви квадратурних формул (7)-(9) походять з геометричних міркувань: криволінійні трапеції, сума площ яких є значення інтегралу замінюються відповідно прямокутниками (7), трапеціями (8), криволінійними трапеціями, верхньою стороною яких є парабола.

При , формула (3) має вигляд:

. (10)

( правило трьох восьмих ).

При виведенні формули (10) ми замінили підінтегральну функцію інтерполяційним многочленом третього степеня, то алгебраїчний ступінь точності цієї формули є і збігається із алгебраїчним ступенем точності формули Cімпсона, але у формулі Сімпсона на один вузол менше.

Тема V. Методи розв’язування задачі Коші

§1. Постановка задачі Коші

Нехай на відрізку потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння n-того порядку

(1)

який у точці набуває заданих початкових значень

(2)

Ця задача називається задачею Коші для рівняння (1). Достатньою умовою існування та єдності її розв’язку є неперервність функції f по всіх аргументах і виконання умови Ліпшиця по змінних

Оскільки більшість методів розв’язування задачі Коші для рівняння першого порядку

(3)

майже без змін переносяться на системи, то з метою спрощення викладок розглядатимемо методи розв’язання задачі Коші (3).

Розглянемо нелінійний оператор А, який діє за правилом

Тоді задачу Коші (3), розв’язок якої шукається на проміжку можна записати у вигляді нелінійного операторного рівняння

.

Вихідними даними задачі (3), або те саме, що задачі є початкове значення та права частина рівняння , тобто функція .

Задача (3), має бути коректно поставленою , тобто мають виконуватися умови :

1. вона має єдиний розв’язок;

2. цей розв’язок неперервно залежить від вихідних даних, тобто “малі” збурення вхідних даних викликають “малі” збурення розв’язку.

Умову (2) називають умовою стійкості . Достатньою умовою розв’язання рівняння (3) є неперервність функції і виконання умови Ліпшиця по y.