§2. Метод Гаусса для розв’язування слар

Розглянемо метод розв’язування СЛАР

(1)

який вперше був опублікований німецьким математиком Гауссом і полягав у послідовному виключенні змінних. Систему (1) запишемо у вигляді , де А – квадратна матриця розмірності , b – заданий вектор, х – шуканий вектор.

Є кілька модифікацій такого методу. Основна ідея методу Гаусса полягає у зведенні початкової системи рівнянь (1) до еквівалентної їй системи з трикутною матрицею, що є прямим ходом методу Гаусса. Далі, із одержаної системи невідомі знаходяться шляхом послідовної підстановки невідомих, це є зворотнім ходом методу Гаусса.

Графічна ілюстрація методу Гаусса наведена на рисунку.

Розглянемо цей алгоритм методу Гаусса детальніше.

На першому кроці систему (1) еквівалентними перетвореннями зведемо до вигляду:

далі цю систему знову еквівалентними перетвореннями зводимо до вигляду:

і так далі, поки не одержимо систему з верхньою трикутною матрицею вигляду:

(2)

Оскільки матриця системи (2) має трикутний вигляд, то можна послідовно визначити всі невідомі, починаючи з .

Щоб виключити і дістати систему (2), виконаємо над i-рядком таке перетворення:

новий і-рядок = старий і-рядок – -рядок,

де і називається головним (ведучим) елементом, а k-рядок – головним (ведучим) рядком.

При здійсненні прямого ходу методу Гаусса немає потреби проводити дії з рівняннями системи (1), а можна усі перетворення виконувати над розширеною матрицею цієї системи.

Таким чином, знайдемо послідовність матриць

де .

В загальному випадку для виконуємо кроки виключення за формулами:

при умові, що головний елемент , якщо ж , то робимо перестановку рядків так щоб новий елемент .

Перехід від до можна записати у матричному вигляді:

,

де – нижня трикутна матриця і називається матрицею Фребеніуса.

Властивості:

Отже, ми звели систему до , де , при цьому R є верхньою трикутною матрицею, а L – уніпотентною, тобто нижньою трикутною матрицею, з одиницями на головній діагоналі. Розвинення матриці А у вигляді називається трикутним розвиненням Гаусса, або LR-розвиненням матриці А.

Можна довести, що для великих значень кількість арифметичних дій, які потрібно виконати для розв’язання системи рівнянь (1) методом Гаусса, приблизно дорівнює .

Алгоритм виключення методу Гаусса.

1. Виконати LR-розвиненням матриці А.

2. Виконати пряму підстановку

3. Виконати обернену підстановку .

Цей алгоритм має такі недоліки:

1. LR-розвиненням можливе не для всіх невироджених матриць, хоча проста перестановка рядків чи стовпців усуває цей недолік;

2. потрібно уникати операції ділення на малий головний елемент.

Звідси випливає така стратегія: на кожному кроці алгоритму Гаусса за головний слід вибирати рядок з найбільшим за модулем елементом у головному стовпчику.

Алгоритм з вибором головного елементу методу Гаусса

1. На k кроці виконання перетворення вибрати такий рядок для якого і який буде головним.

2. Поміняти місцями рядки p та k:

Тепер нове .

3. Виконати крок виключення відносно матриці .

З цього слідує така теорема:

Теорема.

Для будь-якої невиродженої матриці А існує матриця перестановок Р така, що матриця РА має LR-розвинення, тобто PA=LR, при чому Р може бути вибрана так, що елементи матриці L за модулем не перевищують одиниці.

Обчислення за формулами методу Гаусса виконуються на ЕОМ, в результаті чого виникають похибки заокруглення. І фактично знаходиться не точний розв’язок , а деякий наближений . Якби всі обчислення в методі Гаусса виконувалися точно, то в результаті підстановки знайденого розв’язку у задану СЛАР (1) дістали б правильну числову рівність. Але в процесі обчислень виконувалися округлення, тому значення лівих частин рівняння системи (1), взагалі кажучи, не збігатимуться із значеннями їх правих частин. Значення різниць між вільними членами вихідної системи лінійних рівнянь і результатами підстановки в ці рівняння обчислених значень змінних називають нев’язками.

Якщо нев’язки досить малі, то можна стверджувати, що розв’язок системи (1) знайдено з малими похибками. Якщо нев’язки досить значні, то це означає, що значення шуканих змінних обчислено з недостатньою точністю і їх потрібно уточнити. Це буває здебільшого тоді, коли проміжні обчислення виконують з недостатньою точністю.