Вступ до чисельних методів

Історія прикладної математики почалась кілька тисячоліть тому, коли були розв’язані найпростіші математичні задачі з обчислення площ, об’ємів і т.д. За час, що минув у прикладній математиці відбулося багато змін, які позначились на її можливостях і впливі на життя суспільства. Поява у 40-х роках ХХ сторіччя ЕОМ привела до зміни технології наукових досліджень, до розширенння можливостей вивчення складних явищ природи та суспільства, проектування сучасних технічних систем і т.д. Прикладом може бути оволодіння ядерною енергією та освоєння космічного простору. Серед складних задач, які стоять зараз перед наукою, можна назвати моделювання людини, її взаємодії з природою, моделювання клімату та багато інших. ЕОМ стали засобом яяк створення, так і реалізації математичних моделей реальних процесів. Для розв’язування задач з допомогою математичних моделей на ЕОМ розроблені спеціальні методи, які дістали назву чисельні методи.

Етапи вивчення проблеми за допомогою математичних методів та ЕОМ:

1. формулювання проблеми в термінах тих об’єктів, які вивчає сучасна математика – систем лінійних, нелінійних, диференціальних рівнянь і т.д., або іншими словами, створюють математичну модель явища, яке вивчається;

2. математичну модель перетворюють до такого вигляду, щоб до неї входили лише ті операції, які може виконувати ЕОМ. Таке перетворення виконують за допомогою методів, які називають чисельні методи або методи обчислень. Як наслідок дістають модель, яку називають дискретною моделлю;

3. за дискретною моделлю складають програму для ЕОМ;

4. перевіряють програму і розраховують за нею різні варіанти;

5. обробка результатів обрахунків на ЕОМ. Порівнюють результати ЕОМ з іншою інформацією про досліджуване явище чи об’єкт з його фізичною моделлю і роблять висновок про те, чи достатньо математична модель описує реальність.Якщо це не так, то математична модель уточнюється і весь процес дослідження починається з початку.Цю технологію прийнято називати обчислювальним експерементом.

Переваги:

1. дешевший, швидший, простіший, ним легше керувати, ніж натурним експеремент;

2. можна моделювати умови, які не можливо створити в лабораторії або призводять до загибелі об’єкта;

3. дає змогу розв’язувати велкі комплексні проблеми і приймати науково обгрунтовані рішення;

4. легко перебудувати (поширити) для розв’язування різних задач, оскільки багато фізичних явищ описуються одними й тими самими рівнянями.

Недолік в тому, що придатність результатів розрахунків обмежена рамками математичної моделі, яка будується на основі вивчених на дослідах фізичних закономірностей.

Основні поняття та означення

Аналітичний розв’язок задачі одержується шляхом маніпуляції символами за епвними правилами і, як результат, дає формули, підставляючи в які конкретні числа, отримують бажаний числовий результат. Знайти аналітичний розв’язок не завжди вдається або не доцільно через складність. В таких випадках користуються чисельними методами.

Чисельними називається такі методи, які передбачають підстановку замість символів чисел, перетворення їх і визначення таких нових чисел, які є розв’язком. Як правило, перетворення чисел здійснюється шляхом ряду повторюваних підрахунків. Кожне повторення в таких методах називається ітерацією.

В залежності від способу організації обчислень розрізняють методи прямі та ітераційні. Прямі методи – це такі, в яких або ітерації відсутні, або їх кількість відома на перед і не залежить від результатів, отриманих в процесі обчислень на ітераціях. Чисельні методи, які обов’зково включають ітерації і кількість їх на перед невідома, а умова закінчення перевіряється щоразу після кожного повторення або перед ним, називаються ітераційними. Якщо на послідовних ітераціях отримані значення все ближче і ближче підходять до розв’язку, то процес називається збіжним. В протилежному випадку він розбіжний. Величина, яка характеризує, як із ростом кількості ітерацій наближаються до розв’язку, називається швидкістю збіжності.

Прямі методи мають ту перевагу, що закінчуються через скінченну кількість кроків. В той же час ітераційні методи можуть і не збігатися за певних умов, або збігатися дуже повільно, що робить їх не завжди придатними до використання. Тому для ітераційних методів завжди попередньо треба провести аналіз на збіжність.

Разом з тим ітераційні методи мають і свої переваги. Пр проведенні обчислень на ЕОМ зустрічаються з таким негативним явищем, як похибки округлень. Вплив похибок округлень неминуче спотворює результат розв’язку задачі. Для ітераційних методів похибка округлень не нарощується із самого початку, а дорівнює сумарній похибці, яка отримується лише на останній ітерації. Тобто збіжний ітераційний процес стійкий до похибок округлень (сам себе підправляє).