2.1 Залежність потенціальної енергії тіла від відстані до центру Землі
Якщо F→ 0 при r→0, чи це не означа, що куля рухается все повільніше та повільніше по мірі наближення до центру Землі?
Діюча на тіло повертальна сила пропорційна зміщенню F= -kx. Відбувається просте гармонічне коливання з періодом
Отже,
знадобиться тільки 42 хвилини, щоб
дістатися до Австралії. Для повертальної
сили, пропорційній r,
потенціальна енергія пропорційна
,
як у випадку пружини. Потенціальна
енергія гравітаційного тяжіння в
середині Землі обертається в нескінченність
при наближенні r
до
нуля. Замість цього зміна потенціальної
енергії тяжіння при русі тіла всередині
Землі від r=0
до деякого значення r
дорівнює:
Зміна
потенціальної енергії від центра до
поверхні, де r
=
дорівнює:
На поверхні потенціальна енергія дорівнює:
В центрі землі відповідно:
На графіку показано , як квадратна функція, характерезуюча потенціальну енергію кулі всередині планети з постійним розподілом маси, з’єднується на поверхні з функцією обернено пропорційній першої степені відстані. В дійсності маса всередині Землі не розпреділяється рівномірно. Як ми знаємо ядро складається з більш густіших компонентів, ніж зовнішня оболонка.
Тим паче наведені думки є хорошим першим наближенням. Навіть якщо куля спокійно лежить на поверхні Землі, вона все одно знаходиться в потенціальній ямі с відємною потенціальною енергією. Для того щоб віддалитися від Землі наскільки , щоб потенціальна енергія перетворилася на нуль, потрібна велика кінетична енергія. Перетворити повну енергію тіла в ноль, означає надати тілу таку швидкість, що:
Необхідна для звільненя від Землі швидкість:
-
*
-
**
2.2 Осциляція частинки навколо колової орбіти
Нехай
частинка масою m
рухається по коловій орбіті радіусом
в полі
центральних сил, потенціал якого
дорівнює
.
Покажемо, якщо
,
то
колова орбіта
стійка по відношенню до малих коливань
( тобто частинка осилює біля колової
орбіти).
Для частинки, яка рухається в полі центральних сил, ефективний потенціал має вигляд:
Колова
орбіта
можлива при таких значеннях r,
для
яких
0,
а вона стійка, якщо
додатня.
В данному випадку:
Прирівнюємо до нуля першу похідну:
Знаходимо, що
якщо
3
,
Звідки
2.3 Час зіткнення частинок
Нехай
дві частинки рухаються одна відносно
іншої по круговим орбітам з періодом
Під впливом гравітаційних сил. В заданий момент часу рух різко зупиняється, і частинки починають падати одна на одну. Доведемо що вони зіткнуться через час
після
моменту зупинки.
Із
закону збереження
енергії
слідує те що:
Де
відносна координата частинок,
– приведена маса.
конастанта
визначається з виразу доцентрової
сили.
(третій закон Кеплера)
З виразу 1 знаходемо час, через який частинки зіткнуться.
Використовуючи
рівняння (2) , отримаємо
.
Другийваріант рішення. «Падіння до центру» розглядається як граничний випадок еліптичного руху. Коли ексцентриситет орбіти наблизиця до одиниці її форма буду такою як вказано на рисунку.
Х- точка зіткнення , так що час до зіткнення дорівнює половині періода. Тепер використовуємо те, що період для Кеплеровських орбіт пропорційний
Це співвідношення може бути отримане з третього закону Кеплера.
Окрім
того необхідно зауважити, що коли
частинка, яка рухається по коловій
орбіті, зупиняється і допускається
падіння до центру, її енергія подвоюється.
Це відбувається тому, що коли частинка
зупиняється, її кінетична енергія
слідує до нуля, і вона опиняється більш
сильно зв’язаною, відповідно (-E)
збільшується. Подвоєння енергії
частинки, виходить с того, що потенціал
. Таким чином, для колової орбіти
,
а
коли частинка зупиняється вона має
тільки потенціальну енергію,
Остаточно ми маємо:
