6.4 Основные принципы анализа смо

Заявки при различных значениях λ и μ могут обслуживаться немедленно при поступлении или выстраиваться в очередь. В зависимости от длины очереди L будут различное время ожидания Т_ож и время нахождения заявки в системе Т_с . В случае L  m очередная заявка исключается из обслуживания (система с по­терями), аналогичная ситуация будет, если время ожидания больше ка­кой-то допустимой величины, т.е. .

Пример 6.2. Если рассматривать одноканальную СМО, то при λ₁ =10 заявок/час и μ₁=12 заявок/час получим математическое ожидание

M[T_з] = 1/₁ =1/10 =6 минут и M[T_обс] = 1/₁ = 1/12 = 5 минут.

Иногда при расчётах удобно использовать коэффициент ν = λ/μ , который называют «загрузкой» СМО (коэффициентом использования, равный доле времени, когда СМО занята хотя бы одной заявкой)" или приведенной интенсивностью потока заявок" (по смыслу - сред­нее число заявок, пришедших за среднее время обслуживания одной заявки). Тогда при ν =10/12= 0,83 1 очереди иногда не будет и канал не всегда будет загружен.

Пример 6.3. При увеличении интенсивности обслуживания до μ₂=6 заявок/час возможно появление очереди, что отражается величиной коэффициента использования СМО:

₂ = ₁/₂ =10/6 = 1,7 >1 - возможно возникновение очереди.

В теории доказано, что при ν ≥1 установившегося режима не существует, очередь может расти неограниченно. Особенно «непонятен» этот факт при ν =1. Казалось бы, к системе не предъяв­ляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке. Однако при ν=1 система справляется с потоком заявок, только если поток этот регулярен, а время обслуживания тоже не случайно и равно интервалу между заявками. В этом идеальном случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживания стать хоть чуточку случайным - и очередь будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что "бесконечное число за­явок в очереди" - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привес­ти замена случайных величин их математическими ожиданиями.

Таким образом, анализ СМО позволяет оценить эффективность системы с точки зрения ее сложности, а также удобства для заказчиков заявок (клиентов) получить быстрое обслуживание, предотвращая потерю заказчи­ков.

В теории массового обслуживания получены две формулы Литтла для любой СМО:

T_c = N_c/ - среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок,

T_ож = N_ож/ - среднее время нахождения заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

5. Применение теории массового обслуживания для решения прикладных задач

В теории массового обслуживания выведен ряд формул для различных СМО, среди которых наиболее простыми формулами являются для одноканальный системы без очереди СМО (1, 0):

- вероятность состояния S₀ p₀ = / ( +) = q ,

- вероятность отказа в обслуживании (средняя доля необслуженных заявок) p_отк=1– q ,

- абсолютная пропускная способность А =  q .

Для одноканальной системы с ограниченной очередью СМО (1, m):

• вероятности состояний p₀=(1-)/(1-^m+2), p_i=ⁱ p₀,

• вероятность отказа в обслуживании (средняя доля не обслуженных заявок) Р_отк=p_m+1=^m+1p₀ ,

• относительная и абсолютная пропускные способности

q=1- p_отк и А =  q ,

• среднее число обслуженных заявок N_обсл=0p₀+1 (1-p₀)=1-p₀ .

Для СМО (1, ) при ν<1:

• все заявки будут обслужены и q=1, А= q= ,

- вероятность нахождения системы без заявок p₀ =1- ν ,

- вероятности состояний p₁= ν p₀ , p₂= ν² p₀ , p₃= ν³ p₀ и т.д.,

- среднее число заявок в системе (ожидающих в очереди и на обслуживании) N_C = N_ОЖ + N_обсл = ² /(1-) + =/(1-) ,

- среднее время ожидания в очереди T_ОЖ = ² / (1-),

- среднее время нахождения заявки в системе T_c=1/(-),

-удельный вес простоя системы (доля времени, в течение которого канал простаивает) p =  / ((-)) =  / (²( -)).

Заметим, что при ν<1 наиболее вероятным является состояние S₀ и существует предельно установившийся режим , а при ν 1 такого режима нет и при t  очередь растёт до бесконечности.

Одна из первых по времени задач теории массового обслуживания возникла из практических нужд телефонии и была в начале прошлого века решена датским математиком Эрлангом для СМО (n, 0) :

а) p₀ = [ (1+ /1! + ²/2! + … + ⁿ/n!]^-1 ,

p₁ = (/1!)p₀ , p₂ =(²/2!) p₀ , … p_i =(ⁱ/i!)p₀ и т.д.,

б) Р_отк=p_n= (ⁿ/n!)p₀ , q=1- Р_отк , А= q ,

в) среднее число занятых каналов =0p₀+1p₁+2p₂+..+np_n или /= = N_обс ,

N_ож = (³/(22!(1-/2)²))p₀ .

Аналогичные формулы получены и для других систем массового обслуживания [1], например, для СМО (n, m).На практике встречаются и другие разновидности систем массового обслуживания:

• СМО (n, 0) с произвольным распределением времени обслуживания,

• СМО (1, ) с произвольными потоками заявок и распределением времени обслуживания,

• с ограниченным временем ожидания в очереди,

• замкнутые СМО (имеют ограниченное число источников заявок, зависящих от состояния каналов обслуживания) в данный момент времени,

• СМО с «взаимопомощью» между каналами,

• системы многостаночного обслуживания,

• системы овладения смежными профессиями,

• формирование бригад кладовщиков на складе,

• выбор оптимального варианта структуры управления,

• оптимизация организационных форм технического обслуживания ЭВМ и дисциплин технологического обслуживания заявок в информационных технологиях,

• СМО с ошибками (неполной достоверностью обслуживания).

Пример 6.5. Ознакомиться с исходными данными и решением задачи 2.3 из [2].