4.3 Кто ходит первым?

Чтобы проиллюстрировать этот результат, рассмотрим общую игру, кто ходит первым. Этикет игры является одним из примеров; другой с большим следствием этого является игровым предложением. Предложит ли этот человек даме, как ожидается, или же наоборот? Этот вопрос, очевидно, возникает под влиянием социальных обычаев: у обеих сторон есть ожидания, кто должен взять на себя инициативу, и эти ожидания формируются из того, что другие люди сделали бы в подобных обстоятельствах. Если человек, который должен сделать первый шаг, не делает его, то другие могут принять его как знак безразличие. Если человек, который не должен сделать первый шаг, делает так или иначе, другой может рассматривать это как самонадеянность. Если быть кратким, то неверное движение может иметь серьезные последствия.

Неявные игры здесь – для координации по правилам другой игры (кто идет первым, кто идет второй). Мы можем видеть эту мета игру как одну из чистой координации: если стороны не согласовали между собой, их выплаты равны нулю, если они согласуют, то они получают более высокие выплаты, чем если бы они не сделали этого. Чтобы сделать пример более интересным, мы можем предположить, что выплаты для обеих сторон являются асимметричными. Ради конкретности, пусть выигрыши быть следующим:

(где men-мужчины, women-женщины, propose-предлагать, respond – отвечать)

Случайно устойчивым равновесием является тот, кто максимизирует произведение выплат сторон. В данном примере, это равновесие (9,10), в котором мужчины предлагают, а женщины отвечают. Другими словами, при отмене взаимодействия многих близоруких агентов, "мужчины предлагают" равновесие будет выступать как стандартный, или "обычный" большую часть времени.

Хотя этот пример является сильным упрощением и выплаты изобретены лишь в целях иллюстрации, общий смысл состоит в том, что стабильность конвенции зависит от последствий ее благосостояния индивидов. Более того, выбор конвенции не происходит на индивидуальном уровне; он возникает как непреднамеренное следствие многих людей, удовлетворяющих их ближайшее окружение. Этот пример также иллюстрирует, что игры не всегда даны априори, как игровые теоретики хотели бы предположить; скорее, правила игры сами являются социальными конструкциями (допущениями), которые регулируются эволюционными силами. Чтобы начать игру, нужно иметь общие ожидания относительно того, каковы ее правила, и, кажется разумным предположить, что эти ожидания формируются (в некоторой степени) прецедентом. Поэтому теория предполагает, что правила обычной игры зависит от их ожидаемых выигрышей, и что когда имеет место конкуренция между двумя альтернативными формами игры, тот, кто максимизирует произведение ожидаемых платежей сторон, более вероятно будет наблюдаться в долгосрочной перспективе.

4,4 Игры на поле

Естественный вариант модели обучения возникает, когда отдельные лица образуют единую популяцию и играют в симметричные игры. Это, по сути дела рассматриваются Кандори, Майлат и Роб (1993). Рассмотрим, например, валютные игры, описанные в главе 1. В начале каждого периода, человек обращается наугад и он или она решает, использовать золото или серебро для всех операциях, которые происходят в этот период. Ожидаемый выигрыш зависит от относительных пропорций людей, владеющих золотом и владеющих серебром в общей популяции. Ради определенности будем считать следующие выплаты:

(где gold-золото, а silver-серебро)

Таким образом, если р доля холдинга золота в общей популяции, человек, владеющий золотом, имеет ожидаемый выигрыш за период 3p, в то время как лицо, владеющий серебром, имеет ожидаемый выигрыш 2 (1 - р).

В общем, пусть G – симметричная игра двух лиц с пространством стратегии Х₀, в которую играет одна популяция, состоящая из m лиц. Функции выигрыша заданы как u₁(x,x’) = u₂(x,x’) для игрока строки и игрока столбца, соответственно. В начале каждого периода, каждый человек решает играть по данной чистой стратегии в отношении всех желающих в этом периоде. Для каждого из них x ∈ X₀, пусть k^t_x обозначает число лиц, стремящихся играть стратегию х в период t. Состояние в момент времени t, следовательно, есть вектор целых чисел k^t= (k^t_x), таких, что

В этом контексте, адаптивное обучение работает следующим образом. Пусть s – размер выборки (число между 1 и m), и пусть ε ∈ [0,1] – уровень ошибок. Предположим, что состояние в конце периода t k^t. В начале периода t + 1:

(I) Один агент обращается с населением в случайном порядке.

(II) C вероятностью (1 - ε) агент проводит случайную выборку размером s, без замены, с k^t распределением частот, и играет лучший ответ на полученные образцы пропорций p^{^t}. Если есть связи в лучшем ответе, каждый играет с равной вероятностью.

(III) С вероятностью ε, агент выбирает действие в X₀ наугад, каждый с равной вероятностью.

Это однопопулятивная версия адаптивного обучения структурно схожа с (хотя и не идентична) с двупопулятивным процессом, описанным ранее. В частности, если G является симметричной координационной игрой 2x2, то при 1 ≤ s ≤ m, невозмущенный процесс сходится с вероятностью 1 конвенции, и рискодоминирующая конвенция является случайно стабильной всякий раз, когда s и m достаточно велики.