12.Верхний и нижний пределы последовательности.

x_N - ограниченная последовательность =>n а_Nх_Nb_N

х_NKх, так как х_NK-подпоследовательность => n ах_Nb =>ахb

х - частичный предел последовательности х_N

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) => SupM &  InfM

Верхним пределом посл-ти x_N называют SupMSup{x_N}: пишут Lim x_N

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMnf{x_N}: пишут lim x_N

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х_N ограничена сверху (снизу), то  подпосл-ть х_NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х_N.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х_N

 х’М: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М =>  подпоследовательность х_NSх’ => Е>0 (в частности Е=1/к)  s₀: s>s₀ =>

х’-1/к<х_NS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<х_NS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<х_NS<х+1/к

Берем к=1: х-2<х_NS<х+1, т.е  s₀: s>s₀ это неравенство выполняется берем член посл-ти х_NS с номером больше s₀ и нумеруем его х_N1

k=1: х-2/1<х_N1<х+1/1

k=2: х-2/2<х_N2<х+1/2 n₁<n₂

...

k=k: х-2/к<х_NK<х+1/к n_K-1<n_K

При к х_NKх

13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {а_N} - называется фундаментальной, если Е>0  n₀: n>n₀ и любого рN выполнено неравенство |а_N+р-а_N|<Е. Геометрически это означает что Е>0  n₀, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n₀ номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x_N=x, тогда Е>0  n₀: n>n₀ |х_N-х|<Е/2. n>n₀, n’>n₀ |х_N-х_N’|=|х_N-х+х-х_N’|<|х_N-х|+|х-х_N’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть х_N - фундаментальная

1) Докажем что х_N ограничена: Е₁=1998  n₀: |х_N-х_N’|<Е, n>n₀, n’>n₀

n>n₀ |х_N-х_N0|<Е₁ х _N0-1998<х_N<х _N0+1998 => х_N - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

 подпосл-ть х_NKх. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х_NK-х|<Е/2 и одновременно n_к>n₀. Следовательно (из фунд-ти) |х_N-х_NK|<Е/2 =>

|х_NK-х|<Е/2 => х-Е/2<х_NK<х+Е/2 => |х_N-х_NK|<Е/2 => х_NK-Е/2<х_N<х_NK+Е/2 => х-Е<х_N<х+Е => |х_N-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

n

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)⁰=1 => (1+х)⁰ =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n)

1) Lim = 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n₀= : n>n₀ | |<E

2) Lim =1

x_N= - 1

=1+x_N

n=(1+x_N)ⁿ

n=

x_N²<2/(n-1)

При n 0 => x_N0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim =Lim (1+x_N)=1+0=1

19.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N= ; y_N= ; z_N=y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N=(1+1/n)ⁿ=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N => y_N<z_N<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ1+n/n=2

Получили: 2 x_N<3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е.