6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю (Е>0  n₀: n>n₀ |а_N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N=Lim b_N=0, c_N=a_N+b_N, d_N=a_N-b_N. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N, т.е.  n’: n>n’: |a_N|<Е/2. Аналогично  n”: n>n”: |b_N|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N|<Е/2 & |b_N|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c_N|=|a_N+b_N||a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E => |d_N|=|a_N-b_N| |a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N - бм посл-ть, b_N - ограниченная посл-ть z_N=a_N*b_N.

Т.к. b_N - ограниченная посл-ть, значит  такое с: |b_N|с0

Т.к. a_N - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a_N, т.е.  n₀: n>n₀ |a_N|<Е/с.Таким образом n>n₀: |z_N|=|a_N*b_N|=|a_N|*|b_N|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a_N - бм. Еслиn’: n>n’ последовательностьть |b_N|a_N => b_N - бм

Доказательство: a_N - бм =>  n”: n>n”: |a_N|<Е. Для n>=max{n’,n”} |b_N||a_N|<Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если Е>0  n₀: n>n₀ |а_N|>Е)

Теорема: Если a_N - бм, то 1/a_N - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" a_N-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. n₀: n>n₀ |a_N|<1/E =>1/|a_N|>Е.

"<=" 1/|a_N| - бб последовательность => Е>0  n₀: n>n₀ 1/|a_N|>1/Е => |a_N|<Е

Теорема: Пусть a_N - бб. Если  n’: n>n’ последовательность b_N|a_N| => b_N - бб.

Доказательство: a_N - бб =>  n”: n>n” |a_N|>Е. Для n>max{n’,n”} b_N|a_N|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N=a, то |a_N-a|<Е. Пусть _N=a_N-a. |_N|=|a_N-a|<Е

Обратное: Пусть _N=a_N-a, т.к. _N - бм => |_N|Е. |_N|=|a_N-a|<Е

Теорема: Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, то:

1.  Lim (x_N+y_N) и Lim (x_N+y_N)=х+у

2.  Lim (x_N*y_N) и Lim (x_N*y_N)=х*у

3. n y_N0 & y0 =>  Lim (x_N/y_N) и Lim(x_N/y_N)=х/у

Доказательство:

Пусть x_N=х+_N, _N - бм; y_N=у+_N, _N - бм

1) (x_N+y_N)-(х+у)=_N+_N (По теореме о сумме бм: _N+_N - бм => (x_N+y_n)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x_N*y_N - х*у = х*_N+у*_N+_N*_N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x_N*y_N - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x_N/y_N - х/у = (у*_N-х*_N) / (у*(у+_N))= (у*_N-х*_N) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N=y => по определению предела получаем  n₀: n>n₀ |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<у_N<у/2+у, откуда получаем: |у_N|у_N>у/2.|у_N|>у/2=>1/|у_N|<2/у => n: 1/|у_N|max{2/у, 1/у₁, 1/у₂,...1/у_no}

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и  n₀: n>n₀ последовательность х_Nу_N, то ху

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела E>0 (в частности Е<(у-х)/2): n’: n>n’ |x_N-x|<E и n”:n>n” |y_N-y|<E. Получаем n>max{n’,n”} все члены посл-ти x_N будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у_N будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)(у-Е,у+Е)=. И т.к мы предположили, что х>у, то n>max{n’,n”}: х_N>у_N - противоречие с условием => ху.