46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если  А,ВМ [А,В]М

[А,В]М => [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} => А(1-t)+tВМ

[А,В]М => А,ВМ; ₁=1-t, ₂=t => ₁+₂=1 ₁,₂0 => ₁А+₂ВМ

Рассмотрим точки: А₁,А₂,...А_NМ ₁,₂0 i=1,n):_= 1

Докажем что i=1,n):_*А_I М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) _=1 => приравниваем ₁=...=_=0 => верно

б) _<1 _*А₁ +...+ _*А_ +_*А_= (1-_)((_/1-_)*А₁+...+(_/1-_)*А_) + _*А_ = (1-_)*B + _*А_

BМ - по индуктивному предположению А_М - по условию=>(1-_)*B + _*А_М Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А_IМ _0 i=1,n):_=1 => i=1,n):_*А_I М, x_I0, f(x_I)y_I => i=1,n):_*А_I =_x_I;_*y_If(_x_I)_*y_I

Неравенство Йенсена: А_IМ _0 _=1f(_x_I)_*f(x_I)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,x_O,x”(a;b) x’<x_O<x” =>

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(x_O-x’)(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’) => yf(x_O); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x_O)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O) =>yf(x_O)

(f(x_O)-f(x’))/(x_O-x’)(f(x”)-f(x_O))/(x”-x_O)

“<=”