32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а1 xR.

Свойства: x,yR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_Nx, y_Ny => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_Nx, y_Ky => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’R; x_Nx x’_Nx’ x_N,x’_NQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n) a^Xa^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ a^Q>1 => a^X-X’1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n0 a^X 1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n₀: n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при хx₀ x-x₀ n0 => a^X-x₀ n1 => при хx₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

33.Предел функции (1+x)^1/X при x0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)^1/X = e при x0

У нас есть Lim (1+1/n)ⁿ = e при n

Лемма: Пусть n_K n_KN Тогда (1+1/n_K)^Nke

Доказательство:

E>0 k₀: n>n₀ 0<e-(1+1/n)ⁿ<E => n_K  k₀: k>k₀ => n_K>n₀ => 0<e-(1+1/n_k)^Nk<E

Lim (1+x_K)^1/Xk при x0+:

1/x_K=z_K+y_K, z_KN => 0y_K<1 => (1+1/z_K+1)^Zk<(1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk+1=(1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K)=>(1+1/z_K+1)^Zk=(1+1/z_K+1)^Zk+1)/(1+1/z_K+1) => (1+1/z_K+1)^Zk+1/(1+1/z_K+1) < (1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K) kучитывая, что: (1+1/z_K)1 (1+1/z_K+1)1 => получаем:

eLim (1+x_K)^1/Xke => Lim (1+x_K)^1/Xk=e => Lim (1+x)^1/X=e при x0+

Lim (1+x_K)^1/Xk при x0-:

y_K=-x_K0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)^1/X=e при x0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)^1/X=e при x0

2) n lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X)^X = e^X

3) xx^ R - непрерывна

x^=(e^{Ln x})^=e^{*Ln x}

непр непр непр непр

xLn x*Ln^{*Ln x} => xe^{*Ln x}

4) x0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x0 Lim Log_A(1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x0 Lim (e^X-1)/x = {e^X-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x0 Lim (a^X-1)/x = Ln a

6) x0 Lim ((1+x)^-1)/x = Lim ([e^*^{Ln (1+x)} -1/[Ln(1+x)]Ln (1+x)]/x = 11=

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

оказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с_N), такую что Lim c_N=m. Т.к. nN: c_N<m то  x_N[a,b]: c_N<f(x_N)m. x_N - ограничена =>  x_Kn. Т.к. ax_Кnb => [a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c_Knm.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c_Knm. Переходя к пределу в нер-вах c_Kn<f(x_Kn)m, получим

Lim f(x_Kn)=b n но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x_Kn)=f() => f()=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке . Существование точки =Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.