68. Асимптоты графика функции. F68

Асимптотой графика называется прямая к которой переменная точка графика функции неограниченно приближается при бесконечном удалении этой точки от начала координат.

Вертикальные асимптоты: x=x₀

Условие существования вертикальной асимптоты в х₀ является равенство бесконечности хотя бы одного из односторонних пределов функции в этой точке.

lim _x->x0-0f(x)=∞ lim _x->x0+0f(x)=∞

в х₀ должен быть разрыв 2го рода.

Наклонная асимптота.

k=lim _x->∞ f(x)/f

b=lim_x->∞ (f(x)-kx)

Замечание 1: наклонная асимптота существует только когда оба предела существуют и конечны, если k=0,то ур-е приним вид y=b и называется горизн асимптотой.

69. Общая схема исследования функции f69

1. область определения

2. четность/нечетность

3. периодичность

4. точки пересечения графика функции с осями координат

5. непрерывность, точки разрыва (lim _x->a+-0)

6. участки возрастания/убывания, точки экстремума (находим производную, приравниваем к 0, находим точки)

7. участки выпуклости/вогнутости, точки перегиба (находим 2ю производную, приравниваем к 0, находм точки)

8. асимптоты

9. график

70. Определение функции нескольких переменных. Область определения. f70

Если каждой паре значений независящих друг от друга переменных х и у, взятых из некоторой области их измерения, можно поставить в соответствие значение некоторой величины z - это функция от 2х переменных х и у.

Областью определения функции z=f(x,y) называется множество всех пар значений х у, для которых функция существует.

Точки, отделяющие область определения от остальной плоскости называется границей.

Точки области, не лежащие на границе называются внутренними. Если область состоит только из внутренних точек, она называется открытой, а если из внутренних точек и границы-закрытая.

71. Геометрическое изображение функции нескольких переменных. Поверхности второго порядка. f71

z=f(x,y) плоскость G лежит на ХОУ

Проведем перпендикуляр к плоскости ХОУ и отложим величину f(x,y)

p’(x,y,f(x,y))

Поверхность второго порядка.

1. Сфера.

x^2+y^2+z^2=R^2

Сечения плоскостями // координатным плоскостям, получаем окружности.

2. Элипсоид.

x^2/a^2+y^2/b^2+z2/c^2=1

Сечения плоскостями // координатным плоскостям, получаем элипсы.

3. Однополостной гиперболоид.

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1

4. Двуполостной гиперболоид.

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1

5. Конус (двойной)

Конической поверхностью называется поверхность образованная прямыми, проходящими через одну точку (вершину) и пересекающую одну и ту же линию (образующую).

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0

6. Элиптический парабалоид.

x^2/a^2+y^2/b^2=2z

7. Гипербалический парабалоид «седло»

x^2/a^2-y^2/b^2=2z

8. Цилиндр

Цилиндром называют поверхность образованная прямыми // одной прямой (образующей), проходящими через одну и ту же линию (направляющими)

x^2+y^2=4

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

72. Частные и полное преращения функции 2х независимых переменных. f72

Рассмотрим z=f(x,y) зафиксируем у,а х придадим приращению ∆х,тогда частным приращением ∆_хz=f(x-∆x,y)-f(x,y)

Зафиксируем х,а у придадим приращению ∆у,тогда частичным приращением ф-ции zOy наз-ся разность ∆_уz=f(x,y+∆y)-f(x,y)

Придадим обеим переменным приращения ∆_х и ∆_у соответственно. Полным приращением ∆z будем называть разность ∆z=f(x+∆x,y+∆x)-f(x,y)

72. Частные производные функции нескольких переменных. f73

Частные производные функции z=f(x,y) по х называется предел отношения частных преращений функции f(x) приращеный дельта х при производном приращении ->0

∂z/∂x частные lim _x->0∆z/∆x

Производной функции z=f(x,y) по у называется предел отношения частного приращения функции по у к преращению аргумента ∆у при ∆y->0

lim ∆z/∆y

∂z/∂x y=const

74. Полный дифференциал. f74

Часть полного преращения функции z=f(x,y) линейно относительно ∆x и ∆y называется дифференциалом.

dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy

Дифференциал 2го порядка называется дифференциал его первого дифференциала.

d^2z=(∂/∂z+∂/∂y)^2*z

75. Дифферециирование сложной функции. f75

1)Ф-ция z=f(x,y) в свою очередь х и у зависят от некоторой перемнной t,x=x(t) , y=y(t) ,если подставить t на х и у,то получим что зависит от t z=f(x(t),y(t))

1. dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt

2. dz/dx=∂z/∂x+∂z/∂z*dy/dx

3. ∂z/∂y=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u

∂z/∂v=∂z/∂x*∂x/∂v+∂z/∂y*∂y/∂v

76. Неявные функции и их дифференцирование. f76

Неявнозаданной функцией называется функции представленные в виде равенства которое нельзя разрешить относительно одной из переменных.

76. Частные производные высших порядков. f77

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

  Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

 

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

 

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные   определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.