Линейная алгебра f1

1.Определители 2 и 3 порядков

Квадратной матрицей размерности 2 на 2 называется таблица состоящая из 4 чисел расположенных в 2х строках и 2х столбцах вида:(матрица)

В общем виде элементы матрицы можно записать в виде a_ij где - номер строки, j - номер столбца.

Определителем соответствующий данной квадратичной матрице 2 п-ка н-тся число, кот обозначается ∆ и находится по правилу a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁

Квадратной матрицей размерности 3на3 н-тся таблица состоящая из 9 чисел расположенных в 3х строках и 3х столбцах вида:(матрица)

Определителем матрицы 3го порядка называется число находящиеся по правилу разложения по первой строке.

2.Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. f2

Минором эл-та определителя 3го п-ка н-тся определитель 2го порядка полученный из определителя 3го п-ка путем вычеркивание строки и столбца на пересечении к-ых стоит данный э-нт.

∆=a11*M11-a12*M12+a13*M13

Алгебраическим дополнением э-та a_ij называется произведение его минора на (-1) в степени i+j.

∆=a11*А11+a12*А12+a13*А13

Правило: Определитель 3го порядка равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

3.Свойства определителей: f3

1. если строки определителя заменить его же столбцами, то определитель не изменится.

2. если 2 строки или 2 столбца поменять местами то определитель изменит знак на противоположный сохраняя абсолютное значение.

3. общий множитель эл-тов столбца или строки можно вынести за знак определителя.

4. если определитель содержит 2 одинаковых столбца или строки, то такой определитель равен 0.

5. если определитель содержит 2 пропорциональные строки или столбца, то такой определитель равен 0.

6. если определитель содержит строку или столбец полностью состоящий из 0 то такой определитель равен 0

7. если к элементам строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца умноженных на одно и то же число то определитель не измениться.

4. Системы линейных уравнений. Основная и расширенная матрица. Критерии совместности системы. f4

Системой m линейных алгебраических уравнений с n-неизвестным называется следующая система:

{a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+...a_1n*x_n=b₁

a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+...a_2n*x_n=b₂

…………….

a_m1*x₁+a_m2*x₂+....a_mn*x_n=b_m}

где аi-коэффициент при неизвестных, bi-свободный член

Если все bi = 0 то система н-тся однородной.

Решением системы явл. такая совокупность xj* которая при подстановке xj* вместо xj в каждое уравнение системы обращает уравнения системы в тождество.

Система наз-тся совместной,если она имеет решение,и обратно.Однородная система всегда совместная тк она имеет нулевое решение.

Опр.:Совместная система называется определенной если она имеет единственное решение или не определенной если решений бесконечное множество.

2 системы называются равносильными если имеют одинаковые решения.

Система переходит в равносильную,если провести элементарные преобразования:

1. поменять 2 уравнения местами

2. любое уравнение системы умножить на не нулевое число.

3. любое уравнение системы умножить на число и прибавить к другому уравнению

Основная матрица системы называется матрица состоящая из коэффициентов и неизвестных

Расширенная матрица - матрица состоящая из коэффициентов, неизвестных и свободных членов

Строка a₁ ,a₂,…, a_n н-тся линейно зависимой если существуют такие числа α1, α2, αn что их сумма квадратов не равна 0, а сумма произведений на α1а1+α2 а₂+…+αn а_n равна 0.

Ранг - это максимальное количество линейно независимых строк.

Теорема Кронеккера-Капелли: Система совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы.

rgA=rg(A/B)

5.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений f5

Если а₁₁≠0, первую строку матрицы умножаем на (-а₂₁/а₁₁) и прибавляем ко второй строке матрицы. также с остальными.

Случаи:

1. если последняя строки имеет вид (0000…./bi), система не имеет решений.

2. При решении системы последнюю строку мы получаем в виде:(0 0…a_rr* a_rn*/_br*) где r<n, следовательно система имеет множество решений.

3. r=n (0..a_nn*/b_n*) a_nn*×x_n=b_n*

6.Формулы Крамера f6

Решение системы линейных алгебраических уравнений при ∆ ≠ 0 единственно и находится по формуле xi=∆i/ ∆, где ∆-определитель основной матрицы системы, а ∆i получается из дельта заменой i-того столбца на столбец свободных членов.

7.Системы однородных линейных уравнений f7

СЛУ называется однородной если все свободные члены всех уравнений=0. Система имеет хотя бы одно решение которое называется тривиальным или нулевым.

Если число у-ний системы = числу неизвестных, а определитель основной матрицы∆=0, то система имеет единственное тривиальное решение. Если ∆≠0, то система имеет множество решений.

Также если имеется не нулевое решение x₁=c₁ x₂=c₂..x_n=c_n, то для любого k ͼ R, что x₁=k*c₁ x_n=k*c_n.

Чаще всего однородные системы решаются методом Гаусса.

8. Матрицы. Действия над матрицами. f8

Прямоугольной матрицей размерности m на n н-ся матрица вида

(a₁₁ a₁₂ a_1n

a₂₁ a₂₂ a_2n

a_m1 a_m2 a_mn)

Действия над матрицами:

1. сравнение

2 матрицы одинаковы только тогда когда равны их соответствующие элементы

2. сложение

Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности элементы которой определяются по правилу cij=aij+bij

3)умножение на число

Умножением матрицы на число называется матрица той же размерности элементы которой определяются по правилу: каждый элемент умножается на это число.

4. произведение матриц

Произведение матрицы m на p на матрицу p на n называется матрица m на n полученная по правилу cij=aij*bij+ai2*B2j+aip*bpj

5. обратная матрица

Единичной матрицей называется квадратная матрица по главной диагонали которой стоят 1 а остальные 0.

Опр.:Матрица А^-1_{n на n} называется обратной матрицы А _m×n если произведение матрицы А^-1 × А=Е (единичной матрице)

Теорема: Для того чтоб квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно чтобы она была не вырождена те ее определитель был отличен от 0, тогда обратная матрица определяется по правилу

A^-1 = ( A₁₁/∆ A₁₂/дельта A_1n/дельта

A₂₁/дельта A₂₂/дельта A_2n/дельта

A_m1/дельта A_m2/дельта A_mn/дельта где А - это алгебраическое дополнение соответствующих элементов.

9. Векторы и линейные операции над ними. f9

Вектор - отрезок имеющий длинну и направление.

Длинна вектора - его модуль.|АВ|=|а|

Колинеарные - 2 параллельных вектора сонапр и противополнапр.

Комланарные - 3 вектора параллельные одной плоскости.

2 вектора равны др др если они 1)сонапрвлены, 2)коллинеарны, 3)имеют одинаковые длины.

Операции над векторами:

1. сложение (если др за др -треугольник, если из одной точки - параллелограмм)

2. сумма векторов подчиняется переместительному з-ну а+в=в+а и сочинительномуз-ну (а+в)+с=а+(в+с)

2) вычитание (если из одно точки - треугольник)

3. умножение вектора на число

Результатом умножения является вектор длинна которого равна произведению модуля числа k на длину вектора а и если к>0 сонаправлен а, а если к<0 то противоположнонаправлен.

10. Базис на плоскости и в пространстве. f10

Базисом на плоскости или в пространстве называется максимальное число линейно независимых векторов.

На плоскости базисом являются 2 неколлинеарных вектора. В пространстве базисом являются 3 некомпланарных вектора.

Опр.:Линейная комбинация векторов а₁ а₂ а_n - сумма вида α₁*a₁+ α₂*a₂... где αi вещественное число.

Система векторов а₁ а₂ а_n н-тся линейно зависимой если существуют такие числа α 1 α2 не все равные 0, что линейная комбинация равна 0. Если же линейная комбинация равна 0 только когда все α = 0, такая система называется линейно независимой.

Теорема 1: Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы.

Док-во: а||b тогда по свойству умножения вектора на число можно найти такое число х чтобы а=x*b тогда a-xb=0 получили линейную комбинацию α1=1 α2=-х

один коэффициент ≠0, поэтому линейно зависима.

Следствие 1: Любые 2 неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 2: Пусть векторы a и b неколлинеарны тогда любой компланарный вектор c можно представить единственным образом в виде линейной комбинации.

Док-во: пусть a не|| b, проведем с из точки пересечения a и b и продолжим их. Из конца с проведем прямые || a и b. ОС=с=ОВ+ОА

ОВ||b подбираем х OB=x*b

OA||a подбираем у OA=y*a

с=хb+ya

Пусть существую другие числа x₁ y₁ с=х₁b+y₁a не равные x y

Вычтем из равенства 1 равенство 2

0=(x-x1)b+(y-y1)a

Получили что линейная комбинация a и b =0. Но тк они линейно независимы это возможно только когда оба коэффициента равны 0. x=x₁ y=y₁

Следствие 1: Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы

Следствие 2: Любые 3 некомпланарных вектора линейно независимы.

Теорема 3: Пусть 3 вектора a b c некомпланарны, тогда любой вектор d в пространстве можно единственным образом представить в виде линейной комбинации.

d=xa+yb+zc

Следствие: Любые 4 вектора в пространстве линейно зависимы.

11. Проекция вектора на ось и ее свойства. f11

Осью называется направленная прямая.

Проекцией точки А на ось l называется точка А’ полученная опусканием перпендикуляра из А на l.

Проекцией вектора АВ на ось l называется длинна отрезка А’B’ где А’ - проекция т. А на ось l, а В’ проекция точки В, взятая с положительным знаком если направление вектора совпадает с направление оси.

Свойства проекции:

1. постоянный множитель выносится за знак проекции

2. Проекция суммы векторов равна сумме проекций

3. пр_lа=lal*cos φ

12. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки. f12

Прямоугольной системой координат называется совокупность точки О называемой центром и ортонормированного базиса векторов i j k. i j k взаимно перпендикулярны и имеют длину=1.

Продолжения i j k называются координатными осями. i - ось абсцисс, j - ось ординат, k - ось аппликат.

Координаты точки М - это координаты ее радиус вектора.

Пусть даны координаты точек А (x_a, y_a, z_a) B (x_b, y_b, z_b). АВ можно представить в виде разности векторов OB-OA следовательно координатами вектора AB {x_b-x_a, y_b-y_a, z_b-z_a}

Вектор а состовляет с осями координат углы α, β, γ и эту углы находятся по формулам cos α,β,γ= a_x,y,z/lal

13. Скалярное произведение векторов. f13

Скалярным произведение называется число равное произведению их длин на косинус угла между ними. a*b=lal*lbl*cos φ

Свойства:

1. Подчиняется переместительному закону

2. Подчин-ся распределительный закон (a+b)*c=a*c+c*b

3. закон коммутативности (λa)*(Mb)=(λM)*(a*b)

4. скаляр произведение вектора на себя равно квадрату его длины.

5. признак перпендикулярности: a*b=0,когда a перпендикулярно b

6. разложение по единичным векторам

a {a_x, a_y, a_z} a=a_xi+a_yj+a_zk a*b=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z

14.Векторное произведение векторов. f14

Векторным произведением 2х векторов а и b называется вектор с удовлетворяющий 3 условиям:

1. вектор с перпендикулярно а и b

2. длинна вектора с численно равна площади параллелограмма построенный на векторах а и b как на сторонах. lcl=lal*lbl*sinφ

3. вектора а b и с образуют правильную 3ку векторов

Свойства:

1. переместительный з-н не действует а×b= -b×а

2. распределительный закон (a+b)×c=a×c+b×c

3. закон коммутативности (λa)×(Mb)=(λM)*(a×b)

4. признак коллинеарности векторов

a×b=0 a и b колинеарны. а×а=0

5. вычисление векторного произведения

a×b= (i j k

a_x a_y a_z

b_x b_y b_z)

i j k i j вправо с + влево с –

15. Смешенное произведение векторов f15

Смешенным произведением называется сложное произведение при котором 2 вектора перемножаются векторно а результат умножается на 3й вектор скалярно.

abc=(a x b)*c= la_x a_y a_z

b_x b_y b_z

c_x c_y c_zl

Свойства:

1. abc=-bac

2. если любые 2 вектора колинеарны или равны друг другу, произведение равно 0

3. закон коммутативности (λа)(μb)(γc)=(λμγ)abc

4. (a+b)cd=acd+bcd

5. Геометрический смысл смешенного произведения

Построим вектора a b c с началом в одной точке. a x b=d достроим пралепипет на a b c.

abc=(a x b)*c=la x bl*c*cos φ=S*пр_dc=Sh

V=labcl

6. признак комплонарности векторов

abc=0

16. Общее уравнение прямой на плоскости f16

Прямой на плоскости называют геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению относительно текущих координат х у.

Ах+Ву+С=0

Частные случаи:

1. С=0 проходит через начало координат

2. А=0 параллельно абсциссе(х)

3. В=0 параллельно ординате(у)

4. А=С=0 абсцисса(х)

5. В=С=0 ордината(у)

17.Уравнения прямой с угловым коэффициентом, в отрезках на осях f17

у=kx+b

k-угловой коэффициент, числено равный тангенсу угла который прямая составляет с положительным направлением абсциссы.

b-это отрезок который прямая отсекает от начала координат.

x/a+y/b=1уравнение прямой в отрезках

x/(-C/A)+y/(-C/B)=1

a b отрезки которые прямая отсекает на абсциссе и ординате.

18. Уравнение прямой на плоскости( проходящей через данную точку, через 2 точки) f18

Пучек- это совокупность всех прямых кототрые можно провести через точку на плоскости.

y-y₀=k(x-x₀) уравнение прямой, проходящей через точку

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) уравнение прямой проходящей через 2 точки

19.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. f19

φ=α₂-α₁

tgφ=tg α₂-tg α₁=(tg α₂ - tg α₁)/(1+tg α₂ * tg α₁)

tg α₂ = k₂

tg α₁ = k₁

tg φ = (k₂-k₁)/(1+k₁×k₂)

Усл.|| и ┴

ℓ1: y=k1x+b1

ℓ2: y=k2x+b2

1)ℓ1//ℓ2 φ=0 tg φ=0 (k₂-k₁)/(1+k₁*k₂)=0 k₁=k₂

2)ℓ1┴ℓ2 φ=90 ctg φ=0 (1+k₁*k₂)/(k₂-k₁)=0 1+k₁*k₂=0 k₁= - 1/k₂

20. Расстояние от точки до прямой на плоскости f20

ℓ:Аx+By+C=0 M(x₀,y₀)

Расстояние от точки до прямой определяется длина перпендикуляра опущенным из точки на прямую

d=lA*x0+B*y0+cl/√(A^2+B^2)

Если число стоящее под знаком модуля больше 0 то точка лежит выше прямой, если меньше, то ниже, если равна 0, то на прямой.

21. Уравнение плоскости в пространстве(проходящей через данную точку,через две точки) f21

Плоскостью называется множество точек пространства координаты, которых удовлетворяют линейному уравнению относительно текущих координат х у z вида:

Ax+By+Cz+D=0

Частные случаи:

1. D=0 ,О ͼ α

2. A=0 ,α//OX

3. B=0 ,α//OY

4. C=0 ,α//OZ

5. A=B=0 , α//XOY

6. A=C=0 ,αXOZ

7. B=C=0 ,α//YOZ

8. A=D=0 ,пл-ть проходит ч/з координатную ось Ох Охͼα

9. B=D=0 ,αͼОУ

10. C=D=0 ,αͼОZ

11. A=B=D=0 ,XOY

12. A=C=D=0 ,XOZ

13. B=C=D=0 ,YOZ

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Уравнение плоскости проходящей через точку и нормальный вектор

x/(-D/A)+y/(-D/B)+z/(-D/C)=1 уравнение плоскости в отрезках

l x-x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ - уравнение плоскости проходящей через 3 точки

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁l

22. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. f22

cos(α1^α2)=N1*N2/lN1l*lN2l

Условие параллельности:

α1//α2=> N1//N2=> A1/A2=B1/B2=C1/C2=m

если D1=D2=m,тогда плоскости совпадают

Условие перпендикулярности:

α1 ┴ α2 =>N1 ┴ N2 =>N1*N2=0

А₁*А₂+В₁*В₂+С₁*С₂=0

23. Расстояние от точки до плоскости. f23

Пусть дана пл-ть α₁:

Ах+Ву+Сz+D=0 и М₀(x₀,y₀,z₀)

За расстояние от точки до плоскости примем длину перпендикуляра опущенного из точки к плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную т-ку М₁(x₁,y₁,z₁),т.к. она лежит на пл-ти, то ее коор-ты удовлетворяют. Аx+By+Cz+D=0. Образуем М₁М₀{x₀-x,y₀-y,z₀-z}его проекция на норм вектор N взятая по абсолютному значению, это и есть искомая величина d

d=|N*M₁M₀ / |N||

d=lAx₀+By₀+Cz₀+Dl/√(A²+B²+C²)

24. Общие уравнения прямой в пространстве. f24

Прямой в пространстве называется линия пересечения 2х плоскостей поэтому задается системой уравнений пересекающихся плоскостей.

{А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0

А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0

25.Векторные и параметрические уравнения прямой в пространстве. f25

Прямая в пространстве определяется точкой лежащей на прямой и вектором параллельным этой прямой или лежащий на ней. Вектор S называется направляющим вектором прямой.

Возьмем произвольную точку М(x,y,z)

М₀М=ОМ-ОМ_{0 =>} ОМ=ОМ₀+М₀М

S//L

можно найти t при котором M₀M=t*S

OM=r OM₀=r₀

r=r₀+ts векторное уравнение

Координаты радиус вектора точки совпадает с координатами точки

{x=x₀+t*m

y=y₀+t*n - параметрические уравнения прямой

z=z₀+t*p

26. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через 2 точки. f26

1)t=(x-x₀)/m=(y-y₀)/n=(z-z₀)/p x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p - канонические ур-я прямой

Зам 1: Если хотя бы одна из координат направляющего вектора равна 0, это значит что прямая перпендикулярна соответствующей оси.

Зам 2: Для того чтобы от общих ур-ний прямой перейти к каноническим или параметрическим,необходимо определить т-ки прямой (одна координата задается, остальные находятся из системы)и направляющий вектор

2)Если даны 2 точки, образуем вектор, который лежит на прямой и является направляющим. Каноническое уравнение: (x-x₁)/(x₂-х₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)=(z-z₁)/(z₂-z₁)

27. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. f27

За угол м/у прямыми в пространстве принимается один из 2-х смежных углов м/у прямыми проходящими ч/з 1 т-ку ||-ых данных прямых

Угол можно найти как угол между направляющими векторами этих прямых.

cos (ℓ1^ℓ2)=cos(S1^S2)=S1*S2/lS1l*lS2l

Условия параллельности:

ℓ1//ℓ2 S1//S2 m1/m2=n1/n2=p1/p2

Условия перпендикулярности

ℓ1 ┴ ℓ2 S1 ┴ S2 S1*S2=0

28. Угол между прямой и плоскостью. f28

За угол между прямой и плоскостью в пространстве принимается угол между прямой и ее проекцией на плоскость

cos φ= lN*Sl / lNl*lSl

Условие параллельности:

α // ℓ => S ┴ N => S*N=0

Условие перпендикулярности:

α ┴ ℓ => S//N => m/A=n/B=p/C

29. Точка пересечения прямой и плоскости. f29

Пусть дана пл-ть α: Аx+By+Cz+D=0 и прямая {x=x₀+t*m

y= y₀+t*n

z=z₀+t*p

А(x₀+t*m)+B(y₀+t*n)+C(z₀+t*p)+D=0 и находим значения параметра t:

t=(D-Ax₀-By₀-Cz₀)/(Am+Bn+Cp)

и t подставляем в параметрическое уравнение прямой.

30. Кривые второго порядка. Окружность. f30

1)Кривой второго порядка называется множество точек пл-тей координаты которых удовлетворяют уравнению 2го порядка относительно текущих координат х у. Вида:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 При чем ABC одновременно не могут равняться 0.

2)Окружностью называется геометрическое место точек равноудалённых от фиксированной точки пл-ти называемой центром окр-ти. Радиус - расстояние от точек окружности до его центра.

(x-a)²+(y+b)²=R²

31. Эллипс. f31

Эллипсом называют геометрическое место точек пл-ти сумма расстояний от каждой из которых до 2х фиксированных точек называемых фокусами, является величиной постоянной и больше чем расстояния между фокусами.

x²/a²+ y²/b²=1 -каноническое ур-е эллипса b²=a²-c²

A₁(-a;0) A₂(a;0) B₁(0;b) B₂(0;-b)

2a- большая осью a- большая полуось

2b- малая ось b- малая полуось

Формулу эллипса характеризует эксцентриситет.

E=c/a<1 чем ближе он к 1 тем вытянутее эллипс по оси ОХ

Расстояние от точек до фокусов - фокальный радиус

r₁=a+E*x r₂=a-E*x

32. Гипербола f32

Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости абсолютная величина разностей расстояний от каждой из которых до 2х фиксированных точек называемых фокусами есть величина постоянная и меньше расстояния между фокусами.

x²/a²-y²/b²=1 b²=c²-a²

2a- действительная ось a- действительная полуось

2b- мнимая ось b -мнимая полуось

r₁=la+E*xl r₂=la-E*xl

33. Парабола f33

Параболой называется геометрическое место точек пл-ти равноудалённых от фиксированной т-ки пл-ти называемый фокусом и фиксированной прямой на пл-ти называемой директрисой .

Возможны след. случаи

2px=y² p параметр >0

y²=-2px ветви направлены влево

x²=2py вверх

x²=-2py вниз

34. Преобразование координат. Параллельный перенос осей. f34

В системе координат возьмем xOy точку О’(a,b), проведем через нее оси O’X’ O’Y’ // OX OY. Совокупность этих точек дает новую систему координат.

Возьмем точку М (х;у) в ХОУ а в ‘X’O’Y’ (x’;y’).

x’=x-a – новые координаты через старые

y’=y-b

35. Полярная система координат. Ее связь с прямоугольной системой. f35

Полярной системой координат называется совокупность точки О называемой полюсом и оси P называемой полярной осью.

Каждой точке соответствуют 2 числа r и φ, где r - это полярный радиус, расстояние от точки до полюса, а φ - угол который луч ОМ образует с положительным направлением полярной оси. Если φ положительный, то откладывается против часовой стрелки, если отрицательный - по часовой стрелке. М(φ;r)

Совмещаем полюс с началом координат и полярную ось с абсциссой.

M(x;y) (φ;r)

r²=x²+y² φ=arctg y/x =arcsin y/√r=arccos x/√r

y=r*sinφ x=r*cosφ

36.Предел функции в точке. f36

Число b называется пределом функции f(x) при x->а если для любого E>0 существует такое δ зависящее от (E)>0 что из неравенства 0<lx-al<δ => |f(x)-b|<E

lim_x->af(x)=b

Из определения следует что когда х изменяется от а-δ до а+δ график функции находится на полосе между у=в-Е и у=в+Е

37. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. f37

Функция вида f(x) называет Б м при x->a если для любого Е>0 существует δ зависящее от (Е)>0,такое что из нер-ва 0<lx-al<δ следует |f(x)|<E

Функция вида f(x) наз-ся б.б,при x->a, если для любого L>0 существует δ>0,такое что из нер-ва 0<lx-al<δ следует |f(x)|>L

Теорема 1: Функция обратная к бм при x->a является бб и наоборот.

Док-во: f(x) бм x->a для любого хͼ(a-δ,а+δ) |f(x)|<E. На том же самом интервале если поменять функцию на обратную меняется знак.

l1/f(x)l>1/E 1/E=L l1/f(x)l>L

Функция f(x) наз-ся ограниченной на множестве М если существует С>0 такое что для любого x ͼ М |f(x)|<=C

Если f(x) имеет предел при x->a, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Теорема 2: При произведении бм функции f(x) при x->a на ограниченную функцию g(x) есть функция бм.

Следствие 1: Произведение 2х бм функций при х->а есть бм функция.

Следствие 2: Произведение постоянного множителя на бм есть бм.

Теорема 3: Сумма 2х бм функций есть бм функция.

Теорема 4: Отношение f(x) бм при x->а ,к функции к функции предел которой отличен от 0, есть функция бм.

38. Основные теоремы о пределах.(предел постоянной, связь ф-ции с ее пределом, предел суммы) f38

Теорема 1: предел постоянной равен самой постоянной.

Lim_x->ac=c lf(x)-bl<E lc-cl=0<E

Теорема 2 (о связи функции с пределом): Для того чтобы b=lim f(x) при x->a необходимо и достаточно чтобы f(x)=b+α(х)

Док-во: lim _x->a f(x)=b l f(x)-b l<E f(x)=b+α(х)

lα(х)l<E α(х) -бм

α(х)=f(x)-b

lim _x->a f(x)=b

Теорема 3: Предел суммы конечного числа функций имеющие пределы lim _x->a (f(x)+g(x))=lim _x->a f(x)+lim _x->a g(x) равен сумме их пределов.

39.Основные теоремы о пределах(предел произведения, предел частного, предел промежуточной ф-ции) f39

Теорема 4: Предел произведения конечного числа функций имеющих пределы при x->a равен произведению lim _x->a f(x)*g(x)=lim _x->a f(x)*lim _x->a g(x)

Док-во: lim _x->a f(x)=b f(x)=b+α(х)

Lim _x->a g(x)=c g(x)=c+β(х)

f(x)*g(x)=(b+α(х))*(c+β)=b*c - бм

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак придела.

Теорема 5: Предел отношения 2х ф-ций имеющие предел при x->a равен отношению их пределов при условии что предел знаменателя отличен от 0.

Lim _x->af(x)/g(x)=lim _x->a f(x)/lim _x->a g(x) ; lim _x->a g(x)≠0

Теорема 6: (лемма о 2х полицейских): Если функции f(x), g(x), φ(x) удовлетворяет неравенству f(x)<=g(x)<=φ(x) в некоторой окрестности точки а и f(x) и φ(x) имеют равные пределы то и функция имеет такой же предел в окрестности этой точки.

40.Первый замечательный предел. f40

Первый замечательный предел имеет вид:

40. Второй замечательный предел. f41

Последовательностью называется функция заданная на множестве натуральных чисел.

Возрастающая последовательность - это последовательность в которой каждый ее последующий элемент больше предыдущего. Последовательность называется ограниченной если существует такое число с>0 что модуль каждого члена последовательности <=c

Теорема: Всякая возврастающая ограниченная последовательность имеет предел.

lim_x->∞(1+1/x)^x= lim_x->∞(1+x)^1/x=e

e=2,7

42. Понятие о неопределённостях. Общие приемы раскрытия неопределенностей. f42

Часто для вычисления пределов существуют такие ситуации вида {0/0};{ ∞/∞}, {1^∞}, {+- ∞}; {∞^∞}называемые неопределенностями.

Примеры раскрытия неопределенностей:

∞/∞ делим на старшую степень

∞ - ∞ к общем знаменателю

корень-корень бесконечность - бесконечность домножаем на корень+корень

бесконечность + бесконечность= +бесконечность

43. Сравнение бм функций. Эквивалентность бм. f43

1)Пусть α (х) и β (х) – бм x->a, тогда имеют место соотношения:

1. α (х) и β (х) называются бм одного порядка малости если предел их отношения равен числу отличеному от нуля.

2. α (х) имеет более высокий порядок малость если lim _x->a α (х)/β (х)=0

3. α(х) имеет более низкий порядок малости если lim _x->a α(х)/β(х)=∞

4. α(х) имеет порядок малости к относительно β(х) если lim _x->a α(х)/β(х) =А(≠0;≠∞)

5. бм называются не сравнимыми если предела их отношения lim _x->a α(х)/β(х) не существует.

2)2 бм при x->a называются эквивалентными если lim _x->a f(x)/g(x)=1

Если f(x) эквивалентно g(x) то существует их примерное равенство при x->a

Теорема 1: Пусть f(x) эквивалентен f₁(x), а g(x) эквивалентен g₁(x), тогда если существует lim _x->a f(x)/g(x), то существует и lim _x->a f₁(x)/g₁(x) и эти пределы равны.

Док-во:

lim _x->a f(x)/g(x)= lim _x->a f₁(x)/g₁(x) * f(x)/f₁(x) * g₁(x)/g(x) = lim _x->a f₁(x)/g₁(x) * lim _x->a f(x)/f₁(x) * lim _x->a g₁(x)/g(x) = lim _x->a f₁(x)/g₁(x)

Теорема 2: Для того чтобы f1(x) эквивалентна g1(x) достаточно чтобы их разность была бм более высокого порядка.

Док-во: пусть f(x) эквивалентен g(x)

lim _x->a β(х)/g(x)=lim _x->a (f(x)-g(x))/f(x)=lim _x->a f(x)/f(x)-lim _x->a g(x)/f(x)= 1-1=0

Пусть β(х) бм

lim _x->a β(х)/f(x)=0 lim _x->a (f(x)-g(x))/f(x)=0 lim _x->a f(x)/f(x)-lim _x->a g(x)/f(x)=0 1-lim _x->a g(x)/f(x)=0 lim _x->a g(x)/f(x)=1

Теорема 3: Сумма конечного числа бм эквивалентен слагаемому имеющий самый низкий порядок малости.

Основные эквивалентности:

1. sin α (х) эквивалентно α(х)

2. tg α(х) эквивалентноα(х)

3. arcsin α (х) эквивалентно α(х)

4. arctg α(х) эквивалентно α(х)

5. e ^α(х) -1 эквивалентно α(х)

6. ln(α(х)+1) эквивалентно α(х)

7. a ^α(х) -1 эквивалентно α(х)*lna

44. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. f44

1)Функция f(x) непрерывна в точке x=x₀ если:

1. f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀

2. существует предел f(x) при x->x₀

3. lim_x->x0 f(x)=f(x₀)

Если в точке х₀ существует односторонний предел равный значению функции в этой точке, то если этот предел слева и он равен х₀ то говорят о непрерывности функции справа.

Если точка х₀ принадлежит к области определения, нарушается хотя бы одно из условий непрерывности то точка х₀ называется точкой разрыва.

2)Если в точке х₀ существует конечные односторонние пределы, то х₀ называется точкой разрыва 1го рода, причем если lim _x->x0+0 f(x)=lim _x->x0-0 f(x) ≠ f(x₀) то х₀ называется точкой устранимого разрыва.

Если односторонние пределы конечно не равны друг другу, то говорят что в этой точке функция терпит скачек.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, х₀ называется точкой разрыва второго рода.

45. Непрерывность элементарных функций. Действия над непрерывными функциями. f45

Теорема 1: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀ тогда их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, если g(x₀)≠0 то отношение этих функций также непрерывно в этой точке х₀.

Док-во: F(x)=f(x)*g(x) непр lim _x->x0F(x)= lim _x->x0 f(x)*g(x)=lim _x->x0 f(x) * lim _x->x0 g(x)=f(x₀)*g(x₀)=F(x₀)

Все осн. Элементарные ф-ции непрерыв.в области их определения

Теорема 2: Пусть u=φ(х) непрерывна в х₀, а y=f(u) непрерывна в u₀=φ(х₀), тогда y=f(φ(х)) непрерывна в х₀.

46. Свойства функции, непрерывных на отрезке. f46

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b] если она непрерывна в каждой ее внутренней точке, а на концах в точке а непрерывна справа, а в точке b непрерывна слева.

lim _x->а+0f(x)=f(a) lim _x->b-0 f(x)=f(b)

Теорема 1: Если функция непрерывна на отрезке [a,b] то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Если отрезок заменить интервалом, то теорема становится неверна.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2: Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения с разными знаками, то существует хотя бы одна точка принадлежащая отрезку, в которой функция равно 0.

Теорема 3: f(x) непрерывная на [a,b] принимает значения на его концах А и В тогда какое бы ни было число С лежащие между А и В, существует как минимум 1 число С на [a,b] что f(c)=C.

47. Определение производной. Ее геометрический и физический смысл. f47

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к 0.

lim_{∆ х->0} ∆ y/∆ х=lim _{∆ х->0} (f(x₀+ ∆ х)-f(x₀))/∆ х=f’(x₀)

Физический смысл:

S=f(t) дельта t =t-t0

средняя скорость находится V= дельтаS/дельтаt

дельта t->0 тогда можно найти мгновенную скорость V(t0)=lim _{дельта t->0} дельта s/ дельта t=S’(t0)

48. Производные основных элементарных функций. f48

(c)’=0

(xⁿ)’=n*x^n-1

(e^x)’=e^x

(a^x)’=a^x*lna

(ln x)’=1/x

(log_ax)’=1/xlna

(cosx)’= - sinx

(sinx)’=cosx

(tgx)’=1/cos²x

(ctgx)’=-1/sin²x

(arcsinx)’=1/√(1-x²)

(arccosx)’=-1/√(1-x²)

(arctgx)’=1/1+x²

(arcctgx)’= - 1/1+x²

49. Основные правила дифференцирования. f49

Теорема 1: Если функции f(x) и g(x) дифференцируема в точке х то их сумма также дифференцируется в этой точке и ее производная равна (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

Теорема 2: Если f(x) g(x) дифференцируема в точке х то их произведение также дифференцируется в этой точке и ее производная находится по правилу (f(x)*g(x))’= f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x)

Док-во: F(x)=f(x)*g(x)

F(x+∆x)=(f(x)+∆f(x))*(g(x)+∆g(x))

∆f=f(x+∆x) -f(x)

∆f+f(x)=f(x+∆x)

∆g=g(x+∆x)-g(x)

∆g+g(x)=g(x+∆x)

F(x+∆x)=f*g+∆f*g+f*∆g+∆f*∆g

∆F=F(x-∆x)-F(x)=∆f*g+f*∆g+∆g*∆f

F lim_∆x->0 ∆f/∆x=lim _∆x->0 ∆f*g/∆x+lim _∆x->0 ∆g*f/∆x+lim_∆x->0 ∆g*∆f/∆x=g*lim _∆x->0 ∆f/∆x+f*lim_∆x->0 ∆g/∆x+lim _∆x->0 ∆ f* lim_∆x->0 ∆g/∆x=g*f’+f*g’

Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема 3: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х то и их части также дифференцируема в этой точке и его производная находится по правилу (f/g)’=(f’*g-g’*f)/g² при условии что в точке х функция g≠0.

50. Дифференцируемость функции и ее связь с непрерывностью. f50

Если функция имеет производную в точке то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Теорема 1: Если функция дифференцируема в точке х₀, то она непрерывная в этой точке.

Док-во: ∆x=x-x₀ ∆y=f(x)-f(x₀)

рассмотрим предел приращения функции ∆y=∆y/∆x * ∆x

lim_∆x->0 ∆y=lim_∆x->0 ∆y/∆x*∆x=lim_∆x->0 ∆y/∆x * lim_∆x->0 ∆x=f’(x)*0=0

lim_∆x->0 f(x)-f(x₀)=0

lim_∆x->0 f(x)= lim_∆x->0f(x₀)

51. Производная сложной функции. f51

Теорема: Пусть функция u=φ(х) дифференцирована в точке х и имеет производную u’_x, а функция y=f(u) дифференцируемая в точке u имеет производную y’_u, тогда сложной функция y=f(φ(х)) дифференцируема в точке х, то производная определяется по правилу y_x’=y’_u*u’_x

Док-во: Предадим х приращение ∆х, u=f(x) получится приращение ∆u, а y=f(u) получит приращение ∆у. ∆u≠0

∆y/∆x=∆y/∆u=∆u/∆x

lim_∆x->0 ∆y/∆x=lim _{∆ x->0} ∆y/∆u * ∆u/∆x=lim _{∆ x->0} ∆y/∆u * lim _{∆ x->0} ∆u/∆x

в силу непрерывности если ∆u->0 то и ∆x->0

=lim _{∆ u->0} ∆ y/∆u * lim _∆x->0 ∆u/∆x=y’_u*u’_x

52. Производная обратной функции. f52

Пусть функция y=f(x) возрастает или убывает на отрезке [a,b]. х пробегает значения от а до с, y пробегает значение от b до d. Существует функция x=f(y) которая каждым значениям у из интервала от c до d ставит соответствующий х из интервала от a до b. Обратная функция.

Теорема: Пусть функция x=φ(y) является обратной функцией y=f(x) и имеет производную в точке у равную φ’(y) тогда функция f(x) будет дифференцируема в соответствующей точке х и ее производная будет равна f’(x)=1/φ’(y)

Док-во:

x= φ(y) придадим аргументы приращение ∆у,тогда ф-ция получит приращение ∆х

lim _{∆ y->0} ∆x/∆y=lim _{∆ y->0}1/∆y/∆x={ ∆x->0}=lim _{∆ x->0}1/ lim _∆x->0 ∆y/∆x=1/lim _{∆ x->0} ∆y/∆x=1/f’(x)

53. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций. f53

y=[f(x)]^g(x)

lny=g(x)*ln f(x)

y’/y=g’(x)*ln f(x) + g(x)* f’(x)/f(x)

y’=[f(x)]^g(x)(g(x)*ln f(x)+g(x)*f’(x)/f(x))

Неявной называется функция представленная в виде равенства содержащая х и у и неразрешимая относительно х. Чтобы дифференцировать ее, дифференцируют обе стороны от х помня что у - функция от х, а затем выражают у’

54. Производные высших порядков. Физически смысл второй производной. f54

1)2ой производной называется производная от ее 1й производной.

f’’(x)=(f’(x))’

Производной n-ого порядка называется производная от ее n-1 производной.

f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’

2)Физический смысл: Пусть точка движется прямолинейно и ее скорость меняется по закону v=f(t)

(V(t+∆t)-V(t))/∆t=ωср (среднее ускорение на данном участке)

∆t->0 значит мгновенной ускорение:

ω(t)=lim(V(t+ ∆t)-V(t))/∆t=V’(t)

тк скорость производная пути: ω(t)=(S’(t))’=S’’(t)

55. Дифференциал функции. f55

f’(x)= ∆x называется главной частью приращения функции, линейной относительно приращения аргумента или ее дифференциалом и обозначается dy(df(x))

dy(x)=f’(x)∆x

Рассмотрим y=x dx=(x’)*∆x=1*∆x=∆x

df(x)=f’(x)*dx

56. Дифференциал суммы, произведения, частного. Дифференциал сложной функции. f56

1)d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)

Док-во: d(f(x)+g(x))=(f(x)+g(x))’dx=(f(x)+g’(x))dx=f’(x)dx+g’(x)dx=df(x)+dg(x)

Дифференциал произведения определяется по правилу d(f*g)=gdf+fdg

d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Следствие 1: dcf(x)=cdf(x)

Следствие 2: df(x)=d(f(x)+c)

2)y=f(x) x=φ(х) y=f(φ(t))

dy=y’_t dt=y’_x*x’_t dt=y’_xdx

Инвариантность формы дифференциала: Форма дифференциала не меняется от того является ли переменная независимой или промежуточной.

57. Дифференциал высших порядков. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. f57

1)Дифференциалом n-го порядка равен диф-лу от диф-ла n-1 порядка и определяется формулой

dⁿ(y)=f⁽ⁿ⁾*(x)dxⁿ

2)∆y=f’(x) ∆x

dy= ∆y

f(x₀+ ∆x)=f(x₀)+f’(x₀) ∆x

58. Дифференцирование ф-ций,заданных параметрически f58

Функция может задаваться неявным образом y=f(x),а как совокупность 2х функций x=φ(t) y=x(t) зависящих от 3- ей переменной t, который называется параметром. t пробегает все значения из совместной области определения функций.

y=ψ(t) x=φ(t) => t=Ф(х)

y=ψ(Ф(х)) y’_x=ψ’_t* Ф’_х y’_x=ψ’_t / φ’_t y’’_x=(ψ’_x)_t’ / φ’_t

59. Теорема Ферма. f59

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а,в) и достигает на этом интервале своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке, тогда если в этой точке существует производная ф-ции, она =0.

Доказательство: Пусть в точке с принадлежащей (а,в) функция принимает наибольшее значение, тогда для любого ∆х f(c+∆х)-f(c)≤0

60. Теорема Ролля f60

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] и дифференцирована во всех его внутренних точках и принимает в его концах значение равное 0, тогда существует точка с ͼ [a,b] что f’(c)=0

Док-во: По свойствам функции непрерывных на отрезке, f(x) достигает своего наименьшего и наибольшего значения, значит согласно теорема Ферма, производная функции равна 0.

Замечание: На концах a и b, функция может не равняться 0, а просто иметь одинаковые значения.

Геометрический смысл: Существует точка на отрезке (a,b), в которой касательная // ОХ.

61.Теорема Лагранжа. f61

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке (а,в) и дифференцирована во всех его внутренних точках, тогда существует точка с принадлежащая (а,в) что имеет место равенство (f(b)-f(a))/b-a=f’(c)

Док-во: A(a,f(a)) B(b,f(b)) (y-f(a))/(f(b)-f(a))=(x-a)/(b-a)

y=f(a)+(f(b)-(f(a)/(b-a))*(x-a)

f(x) равна разности ординат точек с абсциссой х.

F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-(f(a))/(b-a)(*x-a)

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. F(b)=0

Функция дифференцированная на отрезке (а,в) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)

Согласна теорема Ролля существует точка с что F’(c)=0

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Геометрический смысл: f’(c)-угловой коэффициент точки с. (f(b)-f(a))/(b-a) угловой коэффициент секущей. При выполнении условий теоремы, существует точка в которой касательная // секущей.