1.4. Задачи условной оптимизации

Задачи условной оптимизации состоят из целевой функции и ограничений. В общем виде они представляются следующим образом:

при ограничениях

, ;

.

Целевая функция отражает цель оптимизации. Максимальное (минимальное) ее численное значение соответствует наилучшему варианту, определяемому значениями ее аргументов .

Оптимальное решение рассматриваемой задачи - это оптимальные значения этих аргументов (обозначается ), при которых целевая функция принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное) и для которых выполняются все ограничения задачи.

Другими словами, ограничения задачи условной оптимизации определяют область допустимых решений этой задачи, а с помощью целевой функции среди этих допустимых решений выбирается оптимальное решение.

Заметим, что аргументы целевой функции и аргументы ограничений должны совпадать.

Задачи условной оптимизации называют задачами математического программирования. Их можно классифицировать по различным признакам.

По признаку зависимостей, описывающих целевую функцию и ограничения, эти задачи делятся на задачи линейного и нелинейного программирования.

По признаку искомых аргументов различают непрерывные и дискретные задачи.

По признаку исходных данных делят задачи на детерминированные, стохастические (случайные) и неопределенные.

Приведем примеры целевых функций, отражающих цель оптимизации. Для этого введем следующие обозначения:

- прибыль от реализации единицы изделия - ого вида;

- количество выпущенных изделий - ого вида;

- цена единицы изделия -ого вида;

- себестоимость производства единицы изделия -ого вида.

Используя эти обозначения, сформулируем целевые функции известных задач.

Задача рентабельности затрат на производство изделий:

.

Задача рентабельности продаж:

.

Задача определения затрат в расчете на рубль товарной продукции:

.

1.5. Метод множителей Лагранжа

Рассматривая задачи условной оптимизации, пришли к выводу, что их оптимальные решения могут отличаться от экстремальных решений, найденных при поиске экстремума целевой функции без учета ограничений. Поэтому требуется свести задачу условной оптимизации к такой задаче безусловной оптимизации, т.е. к задаче без ограничений, чтобы оптимальные решения этих задач совпадали, или, другими словами, чтобы экстремальное решение задачи безусловной оптимизации совпадало с оптимальным решением задачи условной оптимизации. Тогда для поиска оптимального решения задачи условной оптимизации можно будет воспользоваться необходимым условием экстремума целевой функции соответствующей задачи безусловной оптимизации.

Сведение задачи условной оптимизации к эквивалентной, т.е. с совпадающим решением, задаче безусловной оптимизации осуществляется методом множителей Лагранжа, суть которого сводится к следующему.

Вернемся к общему виду задачи условной оптимизации:

при ограничениях

, ;

.

Введем вектор множителей Лагранжа и составим из целевой функции и функций ограничений , , функцию Лагранжа:

.

Таким приемом исходная задача на условный экстремум функции сводится к задаче на безусловный экстремум функции .

Тогда необходимыми условиями экстремума служат:

Таким образом, образуется система алгебраических уравнений с переменными.

Решение этой системы уравнений позволяет найти экстремальную точку функции Лагранжа, которая соответствует оптимальному решению исходной задачи условной оптимизации. Последнее определяется теоремой Куна-Таккера. Ее смысл сводится к следующему. Точка является седловой точкой функции , если для всех и выполняется условие:

, т.е. в седловой точке функцией достигается одновременно минимум по и максимум по .