Приложение 9. Постановка и решение задачи оптимального управления непрерывными процессами методом дп в общем виде
Пусть задана оптимизационная задача для непрерывного процесса, описываемого системой из m дифференциальных уравнений вида:
.
(П.9.1)
где fi – известные функции,
- вектор состояния (1 ´ m),
-
вектор управления (1 ´
r).
Заданы
начальное состояние системы
,
допустимые пространства состояний и
управлений
,
интервал управления t
= 0 ¸
T
и выражение для целевой функции вида:
(П.9.2)
где
f0,
F
– подынтегральная и терминальная
функции соответственно. Необходимо
найти оптимальный вектор управления
на интервале t
= 0 ¸
T,
чтобы обеспечить (П.9.2).
Для
решения задачи оптимального управления
непрерывными системами методом
динамического программирования (ДП)
введем функцию Беллмана
являющуюся функцией m
+ 1 переменной (m
переменных вектора
и одна переменная – время). Отличительной
особенностью функции
является то, что она не должна зависеть
от переменных вектора управления
Затем
с помощью функции Беллмана
построим две новые функции
и
(в литературе их называют иногда
формальными функциями) по соотношениям:
(П.9.3)
. (П.9.4)
Поставленная
оптимизационная задача решается методом
ДП при таком векторе управления
который формирует процесс
,
максимизирующий функцию
на всем интервале управления t
= 0 ¸
T,
то есть
(П.9.5)
а
также минимизирует функцию
при t
= T,
т.е. в конце процесса управления. При
оптимальный вектор управления
.
Отметим, что функция
может быть представлена через функцию
Гамильтона Н в виде:
,
(П.9.6)
где
(П.9.7)
функция
Гамильтона, в которой частные производные
выступают в роли присоединенных функций.
С учетом (П.9.6) выражение (П.9.5) примет вид:
(П.9.8)
откуда: 
, (П.9.9)
где
-
процесс при максимальной функции
Гамильтона.
Из (П.9.9) получим:
. (П.9.10)
Это уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана для непрерывных процессов. При = 0 как частный случай из него следует уравнение Беллмана
,
в которое входит производная функции Беллмана по времени. Граничные условия для уравнений (П.9.9) и (П.9.10) определяются из (П.9.4), откуда следует :
, (П.9.11)
где
При
имеем:
(П.9.12)
Из (П.9.9) и (П.9.10) следует, что решение этих уравнений с граничными условиями (П.9.11) и (П.9.12) есть задача Коши.
Основной проблемой применения метода ДП для непрерывных процессов является отыскание функции . Универсальных алгоритмов поиска этой функции не существует.
Список литературы
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
3. Беллман Р. Методы вычислений // Автоматика и телемеханика. 1993. № 8. С. 10.
4. Брокате М. Оптимальное управление системами гистерезисного типа // Автоматика и телемеханика. 1991. № 12; 1992. № 1.
5. Винер Н. Кибернетика и общество. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
6. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория/Пер. с англ. - М.: Айрис-пресс, 2002. - 576 с.: ил. - (Высшее образование).
7. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 399 с.
8. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
9. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике: теория и приложение: учеб. Пособие. – 2-е изд., перераб. И доб. / Б.А. Лагоша, Т.Г. Апалькова. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 224 с.:ил.
10. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.: ил.
11. Основы теории оптимального управления: Учеб. пособие для экон. вузов/В.Ф.Кротов, Б.А.Лагоша, С.М.Лобанов, и др.; Под ред. В.Ф.Кротова. - М.: Высш. шк., 1990. - 430 с.: ил.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
13 Ройтенберг Я.Н. Гироскопы. М.: Наука, 1975.
14. Рудик А.П. Ядерные реакторы и принцип максимума Понтрягина. М.: Атомиздат, 1970.
15. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1977. Т. 14..
16. Шимко П.Д. Оптимальное управление экономическими системами :учеб.пособие для вузов. - СПб.: Бизнес-пресса, 2004 Гриф МО
17. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.
18. Afanasiev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design. Dordrecht: Kluwer, 1996.
19. Swan G.W. Application of Control Theory in Medicine. N.Y.: Dekker, 1984.
1
Обратная матрица рассчитана на ПК с помощью Excel