Дискретные системы

В качестве примера построения траекторий управляемых процессов для дискретных систем рассмотрим систему, описываемую однородным разностным уравнением второго порядка вида

x(n + 1) = u(n) x(n) – x(n – 1),

где u(n) – управляющее воздействие, n – номер цикла.

Зададим ограничение на управление - 2 £ u £ 2 и начальные условия x(0), x(-1), например x(0) = 0,7; x(-1) = 0. При этих условиях по уравнению вычислим x(1), x(2), x(3) и т.д.

На рис. П.6.5 приведены траектории дискретного процесса x(n) от номера цикла n при постоянных значениях управляющего воздействия u = 0,5 и u = 1.

Из этого рисунка видно, что дискретные значения x(n) представляют отсчеты из гармонического колебания постоянной амплитуды, частота которого зависит от управляющего воздействия u.

Если построить эту траекторию на фазовой плоскости с координатами x(n) и x(n - 1) (фазовый портрет), то эта траектория в зависимости от величины управляющего воздействия будет иметь вид эллипсов, представленных на рис. П.6.6.

При u = 0 эллипс превращается в окружность.

Рис. П.6.5. Траектория дискретного процесса при постоянных значениях u

Рис. П.6.6. Траектории дискретного процесса на фазовой

плоскости при различных значениях u

На рис. П.6.7 приведены траектории дискретного процесса при двух фиксированных значениях управляющего воздействия: при и при u = 1.

Рис. П.6.7. Траектории дискретного процесса

при двух фиксированных значениях u

Из рис. П.6.7 видно, что траектории представляют собой два эллипса с наклоном главной оси этих эллипсов под углом p/4 относительно оси x(n - 1). Эти эллипсы имеют точки пересечения. Соединив эти точки прямыми через начало координат, эти прямые образуют сектора с углами a₁ и a₂ соответственно, причем a₂ = p - a₁.

Теперь построим траектории процесса при изменяющемся управляющем воздействии. Закон изменения управляющего воздействия зададим следующим: если точка на фазовой плоскости x(n), x(n - 1) попадает в сектор a₁, то устанавливаем u = 1, а если в сектор a₂, то . При таком законе изменения управляющего воздействия траектория процесса приведена на рис. П.6.8 и имеет вид раскручивающейся спирали, что свидетельствует о бесконечном возрастании амплитуды процесса x(n).

Если закон изменения управляющего воздействия задать обратным предыдущему, а именно: если точка на фазовой плоскости x(n), x(n - 1) попадает в сектор a₁, то устанавливаем , а если в сектор a₂, то u = 1. При таком законе управления траектория процесса приведена на рис. П.6.9 и имеет вид сворачивающейся к началу координат спирали.

Рис. П.6.8. Траектория дискретного процесса

в виде раскручивающейся спирали

Рис. П.6.9. Траектория дискретного процесса

в виде сворачивающейся спирали

Отметим, что разностное уравнение второго порядка вида x(n + 1) = u× x(n) – - x(n - 1) можно представить в виде системы из двух связанных разностных уравнений первого порядка

x₁(n + 1) = x₁(n) – u₁ x₂(n)

x₂(n + 1) = x₂(n) + u₁ x₁(n + 1),

где u₁ – управляющее воздействие.

Траектория процесса в этом случае описывается в координатах x₁ и x₂.

Для определения связи между управляющими воздействиями u и u₁ преобразуем эту систему в одно разностное уравнение второго порядка. Для этого подставим во второе уравнение значение x₁(n + 1) из первого уравнения. В результате получим

x₂(n + 1) = x₂(n) + u₁ x₁(n) – u₁² x₂(n).

Из второго уравнения системы на предыдущем такте имеем: x₂(n + 1) = = x₂(n - 1) + u₁ x₁(n), откуда выразим значение x₁(n): . Подставим это выражение в приведенное выше уравнение и получим разностное уравнение второго порядка

x₂(n + 1) = (2 - u₁²) x₂(n) - x₂(n - 1).

Сопоставляя это уравнение с исходным, получим следующие соотношения между воздействиями u и u₁: u = 2 - u₁², .

Построение траекторий управляемых процессов дает о них наглядное графическое представление и позволяет определить, как от управляющего воздействия зависит вид траекторий и их характерные особенности.