Приложение 3. Применение метода дп для поиска оптимального управления предприятием

Экономическая модель предприятия в непрерывном времени описывается уравнением движения капитала:

, (П.3.1)

где K - стоимость основных производственных фондов, I - инвестиции на обновление ОПФ, m - коэффициент амортизации ОПФ.

Из однопродуктовой модели имеем:

I = Y – C , где Y = X – W = X – aX = (1 – a) X, X - произведенный продукт, Y - конечный продукт, 0 < а < 1 - доля продукта, идущая в производство, C - непроизводственное потребление.

Введем управление , показывающее, какая доля конечного продукта (в денежных единицах) направляется на непроизводственное потребление в виде зарплаты, премий и т.д. для людей, работающих на предприятии, причем 0 < u <1.

Тогда I = (1 – u) Y = (1 – a) (1- u) X . (П.3.2)

Подставим это выражение в (П.3.1) и получим дифференциальное уравнение, описывающее движение ОПФ предприятия

. (П.3.3)

Заданы начальное условие K(0), ограничение на управление 0 £ u £ 1 и интервал управления t = 0 ¸ T. В качестве целевой функции выберем интегральное среднедушевое непроизводственное потребление каждого сотрудника предприятия на продолжительном интервале управления t = 0 ¸ T, выражаемое формулой:

, (П.3.4)

где L - количество работающих на предприятии.

Известно, что при большом интервале управления T происходит дисконтирование (обесценивание) с годами заработанных средств. Для учета этого процесса введем в целевую функцию фактор дисконтирования, тогда она примет вид:

, (П.3.5)

где d - коэффициент дисконтирования.

Введем в исходное уравнение (П.3.3), описывающее модель предприятия, относительные переменные - фондовооруженность, - среднедушевое непроизводственное потребление, - производительность труда на предприятии. Тогда с учетом новых (относительных) переменных получим из (П.3.3)

Так как , где прирост трудовых ресурсов, n - коэффициент, характеризующий прирост или спад трудовых ресурсов. Тогда

Подставим это выражение в исходное уравнение, разделим левую и правую части на L и получим

(П.3.6)

Для описания нормированной модели введем также нормированную производственную функцию Кобба-Дугласа

где - функция Кобба-Дугласа.

Начальные условия на стоимость ОПФ заменим на начальное условие фондовооруженности . Для нормированных переменных целевая функция примет вид:

, (П.3.7)

т. к.

Из выражений (П.3.6) и (П.3.7) следует, что в нормированной оптимизационной задаче состоянием системы являются фондовооруженность k , а управлением являются нормированная функция производства и доля непроизводственного среднедушевого потребления u, то есть произведение x× u.

Решение поставленной задачи будем искать методом ДП. Для приведения ее к классическому виду, когда ищется минимум целевой функции, вместо функции

(П.3.7) введем новую целевую функцию:

. (П.3.8)

Функция R с учетом (П.3.6) и (П.3.8) примет вид:

.

Чтобы функция j не зависела от управления x× u, выделим в функции R слагаемые, зависящие от x× u, и приравняем сумму коэффициентов при них нулю. В результате, получим уравнение:

откуда или Решение этого уравнения имеет вид Положим для простоты и получим

Тогда При полученных выражениях и функция R не будет зависеть от управления u и примет вид:

(П.3.9)

Оптимальные процессы и найдем из условия:

Так как a < 1, то (1 – a) > 0, следовательно максимум R по x достигается при Теперь проведем максимизацию R по k при

Так как не зависит от k, то вместо R введем более простую функцию вида:

(П.3.10)

и будем искать оптимальную фондовооруженность из условия Вначале исследуем функцию графически.

На рис. П.3.1 приведена зависимость от k при вида (П.3.11).

Рис. П.3.1. Зависимость функции от k

Из этого рисунка видно, что функция имеет максимум при .

Найдем это значение .

Для этого введем нормированную производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

, (П.3.11)

где b - параметр нормированной функции Кобба-Дугласа,

r - коэффициент, характеризующий темпы роста научно-технического прогресса,

a - коэффициент эластичности по фондам.

Необходимым условием максимизации по k является (см. рис. П.3.1) равенство нулю производной

т. е.

Так как 0 < a < 1, то из этого уравнения получим:

. (П.3.12)

Это уравнение оптимальной фондовооруженности предприятия по критерию (П.3.5) называется магистралью. График зависимости магистрали от времени t приведен на рис. П.3.2.

Рис. П.3.2. График зависимости оптимальной фондовооруженности предприятия от времени

Для определения оптимального управления предприятием возьмем производную от уравнения магистрали (П.3.12) и получим:

(П.3.13)

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (П.3.6), описывающее нормированную модель предприятия и с учетом (П.3.11) получим:

. (П.3.14)

Так как

то после подставки этого выражения в (П.3.14) окончательно получим:

(П.3.15)

Из этого выражения видно, что оптимальное управление в данной модели не зависит от времени и при условии определяется как где коэффициент эластичности по труду.