3.4. Общий вид задачи оптимального управления
Рассмотрев две классические задачи оптимального управления - задачу оптимального управления развитием экономики и задачу оптимального управления распределением валовых капитальных вложений, представим общий вид задачи оптимального управления в экономике. Для этого введем обозначения:
- состояние экономической системы в
момент времени
,
- управление экономической системой в
момент времени
.
Тогда в общем виде задача оптимального управления примет вид:
- период управления
,
- состояние
,
- управление
,
- начальное состояние
,
- допустимое управление
,
- уравнение движения
,
- целевой функционал
.
Напомним, что
в целевом функционале (функции от
функций) элемент
называется терминальным членом.
Решением такой
задачи оптимального управления является
выбранный вид функции управления
,
для которого на всем периоде управления
выполняется условие допустимого
управления
и по уравнению движения определяется
вид функции состояния
.
Тогда оптимальным решением этой задачи
будут такие функции управления
и состояния
,
которые являются решением и обеспечивают
заданное экстремальное (
или
)
значение целевого функционала.
3.5. Метод решения задачи оптимального управления
Определив выше, что является решением задачи оптимального управления, укажем способ нахождения оптимальной траектории (оптимального управления), приводящей к оптимальной траектории (оптимальному состоянию). Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа, а затем ниже рассмотрим принцип максимума Понтрягина как необходимое условие, позволяющее выявить неоптимальные траектории. В совокупности комплексным методом решения задачи оптимального управления является так называемый метод Лагранжа-Понтрягина.
Рассматривая общий вид задачи оптимального управления, представим уравнение движения в однородном виде:
.
Тогда задачу
оптимального управления, являющуюся
задачей условной оптимизации, можно с
помощью метода множителей Лагранжа
представить задачей безусловной
оптимизации. Для чего введем функцию
множителя Лагранжа
и составим функцию Лагранжа из целевого
функционала задачи оптимального
управления и ее однородного уравнения
движения:
.
Оптимальным
решением уже такой задачи, кстати,
совпадающим с оптимальным решением
исходной задачи оптимального управления,
является седловая точка
,
для которой выполняется неравенство:
.
Нахождение оптимального управления гарантирует нахождение оптимального состояния по уравнению движения. Поэтому ниже рассмотрим условие нахождения оптимального управления .
3.6. Принцип максимума Понтрягина
Необходимые
условия для решения задачи оптимального
управления (3.5) дает принцип максимума
Понтрягина [7]. Согласно этому принципу
седловая точка, точнее, траектория,
определяется как решение неравенства:
.
Если - седловая точка, то - оптимальное управление, т.е. решение рассматриваемой задачи оптимального управления. Это подтверждается рассмотрением неравенств правого и левого.
Правое неравенство:
или
Оно всегда
выполняется, т.е. выполняется при любом
множителе Лагранжа
и
,
т.к. на оптимальной траектории выполняется
уравнение движения:
.
Следовательно:
.
Рассмотрим левое неравенство:
.
Из него следует:
.
Поэтому для всех управлений , для которых выполняется уравнение движения, выполняется также:
,
т.е. действительно - оптимальное управление (решение) задачи оптимального управления.
Таким образом, если - седловая точка, то - оптимальное решение задачи оптимального управления. Поэтому необходимые условия существования седловой точки являются одновременно и необходимыми условиями максимума задачи оптимального управления.
Принцип максимума дает лишь необходимые условия оптимальности. Действительно, оптимальная траектория состоит из некоторых участков управляющих траекторий, определенных по этому принципу [7].