Словник-мінімум до лекції 21

Random (stochastic) process	Випадковий процес
Random process with stationary increments	Випадковий процес зі стаціонарними приростами
Correlation function	Коряляційна функція
Autocovariance assembly language	Автоковаріація
Markovian process	Марковський процес
Markov chain (Markovian chain)	Ланцюг Маркова
Transition probability	Ймовірність переходу
Transition probability matrix	Матриця перехідних ймовірностей
Correlated processes	Корельовані процеси
Stationary to wide extent process	Процес стаціонарний у широкому сенсі
Stationary in a restricted sense process	Стаціонарний у вузькому сенсі процес
Ergodic property	Ергодична властивість
Discrete state	Дискретний стан
Сonvergence	Збіжність
Linear transformation	Лінійне перетворення
Wiener random process	Вінеровський випадковий процес
Spectral factorization	Спектральний розклад

Лекція 22 Тема. Основи теорії масового обслуговування План

1. Класифікація моделей систем масового обслуговування (СМО).

2. Потоки подій.

3. СМО з відмовами.

4. СМО з очікуванням (чергою).

5. Статистичне моделювання СМО: метод Монте-Карло.

Жодна наука не навчає так ясно розуміти гармонію природи як математика.

П. Карус

Теорія масового обслуговування, що також має назву теорія черг, – це прикладна теоретико-ймовірнісна дисципліна, що вив­чає випадкові процеси в системах обслуговування з врахуванням раціональної побудови цих систем та визначенням умов їх оптимального функціонування. Практична спрямованість теорії систем масового обслуговування була визначена його фундатором А.Я. Хінчиним: «В науке, практической деятельности людей и в быту каждодневно создаются такие положения, когда возникает массовый спрос на обслуживание какого-либо специального вида, причем обслуживающая организация, располагая лишь ограниченным числом обслуживающих единиц, не всегда способна немедленно удовлетворить все поступающие заявки… перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих единиц и качеством обслуживания».

Модель системи масового обслуговування – це один з різновидів математичних моделей, що можуть бути широко використані при описанні різноманітних фінансово-економічних процесів: роботу підприємств, банків, страхових компаній, податкових інспекцій та перш за все організацій сфери послуг, а саме: магазинів, салонів, лікарень тощо. Ця практична спрямованість пов’я­зана з багатократною реалізацією однотипових завдань, задач або операцій.

У будь-якій задачі теорії масового обслуговування задається система обслуговування – математична модель, що, зазвичай, описується за допомогою інтуїтивно зрозумілих термінів, що здебільшого використовуються у реальних системах (телефонних, комунікаційних, радіо, магазини, лікарні, банки тощо). Ця модель обов’язково включає описання вхідного потоку вимог (заявок, споживачів, дзвінків), що мають бути задоволені (виконані); черги; потоку не задоволених вимог; обслуговуючих каналів (вуз­лів, приборів, ліній), кожен з яких у змозі одночасно виконати одну вимогу; вихідного потоку та дисципліни черги (рис. 22.1. Структура СМО).

Основними характеристиками СМО є вид потоку замовлень, число каналів обслуговування, їх потужність та правила організації роботи системи. Як результат, показники ефективності функ­ціонування СМО можуть бути подані через її основні характеристики. Випадковий характер потоку заявок та тривалості їх обслуговування створює в СМО випадковий процес, для вивчення якого необхідні побудова та аналіз його математичної моделі. Вивчення функціонування СМО значно спрощується, якщо випад­ковий процес є марковським. У цьому разі параметри роботи СМО легко можуть бути виражені через вхідні параметри СМО, потоку заявок та дисципліни обслуговування.

Канал обслуговування

Вхідний потік

заявок Вихід

Потік незадоволених Потік задоволених

вимог вимог

Рис. 22.1. Структура СМО.

Класифікація СМО визначається багатьма факторами:

1. за характером вхідних потоків СМО бувають марковськими та немарковськими;

2. за числом каналів обслуговування – одноканальними та багатоканальними;

3. за дисципліною обслуговування – з відмовами (нульовим часом очікування), з очікуванням (необмеженим очікуванням або чергою), змішаного типу, з пріоритетним обслуговуванням;

4. за обмеженням потоку заявок – замкнені та відкриті;

5. за кількістю етапів обслуговування – одно- та багатофазові СМО.

У даному курсі будуть розглядатися такі СМО:

– одноканальні СМО з відмовами;

– багатоканальні СМО з відмовами;

– одноканальні СМО з очікуванням;

– багатоканальні СМО з очікуванням;

– СМО з очікуванням та скінченною чергою;

– СМО з обмеженним часом очікування;

– замкнені СМО.

Ефективність функціонування СМО визначають три основні типи показників:

1. ефективність використання СМО – абсолютна або віднос­на пропускна здатність, середня тривалість періоду зайнятості СМО, коефіцієнт використання СМО;

2. якість обслуговування заявок – середній час очікування обслуговування для однієї вимоги, ймовірність відмови в обслуговуванні без очікування, ймовірність того, що вимогу буде без жодної затримки задоволено;

3. ефективність функціонування пари «СМО – споживач», тут під споживачем розуміють як сукупність вимог, так і певне джерело (наприклад, середній дохід, що приносить СМО за одиницю часу експлуатації, і т.ін.).

2. Потоки подій.

У реальному житті як і у математичній моделі задачі масового обслуговування вимоги в систему надходять випадково і утворюють так званий вхідний потік вимог.

Означення. Потоком подій називають послідовність однорідних подій, що відбуваються одна за одною в певні випадкові моменти часу. Потік подій визначається інтенсивністю λ – частотою появи події або середнім числом подій, що надходять у СМО за одиницю часу.

Потік подій регулярний, якщо події відбуваються одна за одною через певні рівні проміжки часу (наприклад, інтервал руху фунікулера - кожні п’ять хвилин).

З теорії випадкових процесів відомо, що випадковий процес є марковським тільки тоді, коли всі потоки подій, під впливом яких відбувається перехід систем зі стану в стан, є пуасонівськими, тобто такими, що володіють властивістю післядії (для будь-яких двох часових проміжків, які не перетинаються кількістю подій, що відбуваються в одній з них, не залежить від кількості подій, що відбуваються в іншій) та властивістю ординарності (події з ймовірністю, близькою до одиниці, відбуваються поодиноко, ймовірність настання більш ніж однієї події в один момент часу близька до нуля).

Найхарактерніший вид систем обслуговування – марковські, тобто системи з пуассонівськими вхідними потоками. Ми припус­каємо, що ймовірність надходження вимоги на обслуговування протягом будь-якого проміжку часу дорівнює ймовірність надходження більшої кількості вимог є нескінченно малою величиною; кількість вимог, що поступає до моменту часу , має розподіл Пуассона з середнім значенням λ , тобто вхідний потік вимог є пуассонівським з інтенсивністю λ.

3. СМО з відмовами.

Розглянемо одноканальну та багатоканальну СМО з відмова­ми. Одноканальна СМО містить один канал (n=1), на її вхід над­ходить пуассонівській потік замовлень П_вх, інтенсивність (середня кількість подій на одиницю часу) якого inП_вх.=λ. Так як інтенсивність вхідного потоку може змінюватися з часом, то замість λ записують λ(t). Час обслуговування каналом однієї заявки Т_об розподілено за показниковим законом, щільність розподілу виз­начається за формулою , де μ – інтенсивність відмов.

Стан СМО характеризується простоюванням або зайнятістю її каналу, тобто двома можливими станами: s₀ – канал вільний; s₁ – канал зайнятий. Перехід системи зі стану s₀ в стан s₁ відбувається під впливом вхідного потоку замовлень П_вх, , а із стану s₁ в стан s₀ систему переводить потік виконаних вимог П_об: якщо в даний момент часу система знаходиться в деякому стані, то з настанням першого після данного моменту часу СМО переходить в другий стан. Щільності розподілу переходу зі стану s₀ в стан s₁ та навпаки дорівнюють відповідно λ та μ. Інтенсивності переходу зі стану s₀ в стан s₁ визначається інтенсивністю надходження вимог: λ₀₁=λ; зі стану s₁ в стан s₀ – інтенсивністю обслуговування λ₁₀=μ. Граф станів одноканальної СМО відображено на рисунку 22.2.

Рис. 22.2. Граф станів одноканальної СМО

Основні характеристики ефективності функціонування одноканальної СМО з відмовами подано в таблиці 22.1 та таблиці 22.2.

Таблиця 22.1