Лекція 21 Тема 21. Важливі класи випадкових процесів План

1. Поняття про випадковий процес.

2. Класифікація випадкових процесів.

3. Основні характеристики випадкового процесу: математич­не сподівання, дисперсія, кореляційна функція, сумісна кореляційна функція.

4. Випадковий процес, стаціонарний у широкому сенсі. Ана­ліз кореляційної функції. Ергодичність.

5. Поняття марковського випадкового процесу.

6. Рівняння Колмогорова-Чепмена (Феллера).

Процес отримання і використання інформації є процесом нашого пристосування до випадковостей зовнішнього середовища і нашої життєдіяльності в цьому середо- вищі.

Н. Вінер

При вивченні багатьох явищ стикаються з вивченням випадкових величин, що змінюються з часом. Прикладів таких випадкових величин можна привести чимало: вага людини, кількість часу, який студент витрачає протягом семестру на самостійну роботу, довжина черги в студентському кафе, рейтинг кандидата в президенти країни, кількість відвідувачів офіційного сайта університету тощо.

Випадковими функціями називають випадкові величини, що змінюються у процесі проведення досліду (спостереження або експерименту).

Означення. Теорія випадкових функцій (випадкових процесів) – це розділ вищої математики, що вивчає випадкові явища в динаміці їх розвитку. Ця теорія широко використовується у теорії інформації, автоматичного керування, при аналізі та плануванні фінансового стану підприємства, при обробці та передачі сигналів радіоелектронних пристроїв, у теорії масового обслуговування тощо.

Означення. Кажуть, що на деякій множині дійсних чисел задана випадкова функція (ВФ) , якщо кожному значенню , ставиться у відповідність випадкова величина . Або по іншому: випадковою функцією називають випадкову функцію від невипадкового аргументу .

Означення. Випадковим процесом називається випадкова функція, якщо аргумент визначається як час. Випадковий процес – це сімейство випадкових величин , що задані на одному й тому ж просторі елементарних подій , що залежить від параметра . Випадковий процес позначається таким чином: , або .

Випадковий процес може бути заданий формулою у випадку, якщо відомий вид випадкової функції і випадкові величини, що задають параметри ВФ, задані аналітично.

Приклад 21.1. Випадкова функція  ВФ, що має рівномірний розподіл, є випадковим процесом.

Означення. Зрізом випадкового процесу називають випадкову величину , в яку перетворюється випадковий процес при фіксованому значенні параметра .

Означення. Реалізацією або траєкторією випадкового процесу називають невипадкову функцію від часу при фіксованому , тобто конкретний вигляд, що його приймає випадковий процес у результаті досліду або спостереження. Реалізації ВП позначають через , де індекс вказує на номер досліду або спостереження.

На рисунку 21.1 подано три реалізації випадкового процесу при . Кожна така траєкторія є звичайною функцією . Три відображені на малюнку точки - це значення випадкової величини в трьох дослідах.

0

Рис. 21.1

Так, якщо в розглянутому прикладі 21.1 ВВ в першому досліді прийняла значення 1, в другому – (–1), в третьому – , то отримуємо три реалізації випадкового процесу: – невипадкові функції. Якщо в цьому прикладі зафіксувати момент часу, наприклад , то отримуємо переріз: – випадкова величина.

Означення. Одновимірним законом розподілу випадкового процесу називається функція . Ця характеристика не є повною (вичерпною) для випадкового процесу. Випадковий процес являє собою сукупність усіх реалізацій при різних значеннях , тому для повного описання необхідно розглядати сумісну функцію розподілу реалізацій (перерізів) процесу:

це скінченновимірний закон розподілу випадкового процесу в моменти , отже розглядаємо багатовимірну випадкову величину .

Зауваження. Поняття випадкового процесу є узагальненням поняття системи випадкових величин у випадку, коли кількість цих величин нескінченна.