5.5.Сведение задач к подзадачам

В этом пункте рассматривается подход к решению задач, основанный на сведении задачи к подзадачам. Идея такого под­хода состоит «в размышлении в обратном направлении» от за­дачи, которую предстоит решить, с тем чтобы выделить подзадачи, подподзадачи и т. д., пока, наконец, первоначальная задача не будет сведена к набору тривиальных элементарных задач. Графы AND/OR могут служить удобным средством представления тех задач, ко­торые возможно естественным образом разложить на ряд взаимно независимых под­задач. К примерам таких задач относится поиск маршрута, проектирование, симво­лическое интегрирование, игры, доказательство теорем и т.д.

5.5.1. Представление задач в виде графов and/or

Выше рассматривались способы решения задач, представ­ленных с помощью пространства состояний. В соответствии с этим решение задачи сводилось к поиску пути в графе пространства состояний. Но для некоторых катего­рий задач более естественно подходит другое представление, в виде графа AND/OR. Графы AND/OR могут служить удобным средством представления тех задач, ко­торые возможно естественным образом разложить на ряд взаимно независимых под­задач. К примерам таких задач относится поиск маршрута, проектирование, симво­лическое интегрирование, игры, доказательство теорем и т.д.

В основе такого представления лежит декомпозиция задачи на подзадачи. Декомпо­зиция на подзадачи может применяться, если подзадачи являются взаимно незави­симыми и поэтому могут решаться независимо друг от друга.

Проиллюстрируем сказанное выше на примере(см.1). Рассмотрим задачу поиска мар­шрута между двумя указанными городами на дорожной карте, показанной на рис. 5.13. На данный момент значения длины маршрутов будут игнорироваться. Эту задачу, безусловно, можно сформулировать как поиск пути в пространстве состоя­ний. Соответствующее пространство состояний может выглядеть полностью анало­гично этой карте: узлы в пространстве состояний соответствуют городам, дуги — прямым соединениям между городами, а стоимости дуг — расстояниям между горо­дами. Но может рассматриваться и другое представление этой задачи, основанное на ее естественной декомпозиции.

На карте, приведенной на рис.5.13, имеется также река. Предположим, что эту реку можно пересечь только с помощью двух мостов, один из которых находится в городе f, а другой — в городе д. Очевидно, что необходимо включить в разрабаты­ваемый маршрут один из мостов, поэтому маршрут должен пройти или через f, или через д. Таким образом, имеются два описанных ниже основных варианта.

Рис.5.13. Поиск маршрута между городами a и z no дорожной карте. Реку можно пересечь е пункте f или д. Представление этой задачи в виде графа AND/OR показано на рис. 5.14.(Братко,1).

Чтобы найти путь от а до z, необходимо выполнить одно из следующих действий.

1. Найти путь от а до z через f.

2. Найти путь от а до z через д.

Теперь каждый из этих двух вариантов задачи можно разложить на подзадачи, как описано ниже.

1. Чтобы найти путь от а до z через f, необходимо выполнить следующее:

1. найти путь от а до f;

2. найти путь от f до z.

2. Чтобы найти путь от а до z через д, необходимо выполнить следующее:

1. найти путь от а до д;

2. найти путь от д до z.

В конечном итоге имеются два основных варианта решения первоначальной зада­чи: проложить маршрут через f или проложить его через д. Кроме того, каждый из этих вариантов задачи можно разделить на две подзадачи (соответственно, 1.1 и 1.2 или 2.1 и 2.2). Здесь важно то, что (в обоих вариантах) каждая из подзадач может быть решена независимо от другой. Такую декомпозицию можно представить в виде графа AND/OR (рис.5.14). Обратите внимание на две дуги, соединенные кривой ли­нией, которые обозначают связь AND между подзадачами. Безусловно, что граф, по­казанный на рис.5.14, представляет собой только верхнюю часть соответствующего дерева AND/OR. Дальнейшая декомпозиция подзадач может быть основана на рас­смотрении других промежуточных городов.

Какими являются целевые узлы в подобном графе AND/OR? Целевые узлы соот­ветствуют подзадачам, которые являются тривиальными, или "простейшими". В данном примере такой подзадачей будет "поиск маршрута от а до с", поскольку на дорожной карте имеется прямое соединение между городами а и с.

В этом примере введены некоторые важные понятия. Граф AND/OR представляет собой ориентированный граф, узлы которого соответствуют задачам, а дуги обозна-

чают отношения между задачами. Имеются также отношения между самими дугами. Этими отношениями являются AND и OR, в зависимости от того, требуется ли ре­шить только одну из задач-преемников или сразу несколько. В принципе, из любого узла могут исходить и дуги, связанные отношением AND, и дуги, связан­ные отношением OR. Но мы предполагаем, что каждый узел имеет либо только пре­емников AND, либо только преемников OR. Дело в том, что каждый граф AND/OR можно преобразовать в стандартную форму, введя по мере необходимости вспомога­тельные узлы OR. Поэтому узел, из которого исходят только дуги AND, называется узлом AND, а узел, из которого исходят только дуги OR, называется узлом OR.

Рис.5.14. Представление задачи поиска маршрута, приведенной на рис 5.13, в виде графа AND/OR. Узлы соответствуют задачам или подзадачам, а дуги, со­единенные кривыми, показывают, что должны быть решены все (в данном случае обе) подзадачи

б)

Рис.5.15. Два типа узлов в графе AND /OR: а) чтобы решить задачу Р, достаточно решить любую из подзадач PI, P2 или ...; б) чтобы решить задачу Q, необходимо решить все подзадачи, и Q1, и Q2, и ...

В представлении в виде пространства состояний решение задачи сводилось к по­иску пути в пространстве состояний. Каково же решение в представлении в виде графа AND/OR? Безусловно, что любое решение должно включить все подзадачи лю­бого узла AND. Поэтому теперь решение является не путем, а деревом. Такое дерево решения, Т, определяется следующим образом.

• Первоначальная проблема, Р, является корневым узлом дерева Т.

• Если Р — узел OR, то в дереве Т находится один и только один из его преем­ ников (по графу AND/OR) вместе с его собственным деревом решения.

• Если Р — узел AND, то в дереве Т находятся все его преемники (по графу AND/OR) наряду с их деревьями решения.

Это определение показано на рис.5.15. На данном рисунке показаны также стои­мости, назначенные дугам. Стоимости позволяют сформулировать критерий оптими­зации. Можно, например, определить стоимость графа решения как сумму всех стоимостей дуг в этом графе. Поскольку нас обычно интересует минимальная стои­мость, то предпочтительным является граф решения, показанный на рис.5.16, в.

в)

б)

Рис.5.16.. Примеры графов решения: а) граф AND /OR, в котором d, g и h являются целевыми узлами, a — задача, которая должна быть решена; б) и в) два дерева решения, стоимость которых составляет соответственно 9 и 8. Здесь стоимость дерева решения определена как сумма всех стоимостей дуг в дереве решения

Но мы не обязаны всегда рассматривать стоимости дуг в качестве критерия опти­мизации. Иногда более естественно связать стоимости с узлами, а не с дугами или связать их и с дугами, и с узлами.

На основании сказанного выше можно сделать следующие выводы.

• Представление задачи в виде графа AND/OR основано на принципе декомпо­зиции задачи на подзадачи.

• Узлы в графе AND/OR соответствуют задачам, а связи между узлами указы­вают на отношения между задачами.

Узел, из которого исходят связи OR, представляет собой узел OR. Для реше­ния задачи, обозначенной узлом OR,достаточно решить одну из задач его уз­лов-преемников.

Узел, из которого исходят связи AND, представляет собой узел AND. Для ре­шения задачи, обозначенной узлом AND, необходимо решить все задачи его узлов-преемников.

Для указанного графа AND/OR конкретная задача формулируется с помощью следующих двух понятий:

начальный узел;

целевое условие для распознавания целевых узлов.

• Целевые (или "оконечные") узлы соответствуют тривиальным (или "простей­шим") задачам.

• Любое решение представлено в виде графа решения, который является под­графом графа AND/OR.

• Представление в виде пространства состояний может рассматриваться как ча­стный случай представления в виде графа AND/OR, в котором все узлы явля­ются узлами OR.

• Чтобы можно было воспользоваться преимуществами представления AND/OR,необходимо, чтобы узлы, связанные отношениями AND, представляли подза­дачи, которые могут быть решены независимо друг от друга. Критерий незави­симости можно немного ослабить следующим образом: должно существовать упорядочение подзадач AND, такое, чтобы решения подзадач, встречающихся раньше при этом упорядочении, не уничтожались в результате решения после­дующих подзадач.

• Для обеспечения возможности сформулировать критерий оптимизации могут быть назначены стоимости дугам или узлам, или тем и другим.