11 Замкнутая система. Законы сохранения. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени.

Система называется замкнутой, если входящие в нее тела находятся во взаимодействии только между собой, то есть на них не действуют внешние силы. Совершенно очевидно, что таких систем нет, так в любом месте пространства присутствуют гравитационные силы. Дальнейшие рассуждения похожи на рассуждения относительно инерциальных систем. То есть система может считаться замкнутой, если ее незамкнутость не мешает нам решать конкретную задачу.

Пусть теперь в замкнутой системе находится  МТ. Они взаимодействуют только друг с другом и их движение описывается системой дифференциальных уравнения, следующих из второго закона Ньютона. Для решения системы требуется 6  констант, являющихся начальными координатами и начальными проекциями скоростей. Эти константы не меняются со временем, то есть сохраняются. Но из этих констант можно составить 7 аддитивных величин, не меняющихся со временем. Это три проекции суммарного импульса, три проекции момента импульса и механическая энергия.

Для каждой из них формулируется закон сохранения:

1 — закон сохранения импульса,

2 — закон сохранения момента импульса,

3 — закон сохранения механической энергии.

Законы сохранения в ряде случаев позволяют прогнозировать состояние и характер движения замкнутой механической системы, не производя детального анализа сил взаимодействия ее частей и не выполняя интегрирования уравнений движения.

В классической механике законы сохранения являются следствием законов Ньютона. Однако все они имеют фундаментальный характер и остаются справедливыми не только в рамках классической механики, но и в теории относительности и в квантовой механике. Эта фундаментальность законов сохранения связаны с однородностью и изотропностью пространства и однородностью времени (теорема Эмми Нётер).

 

12 Закон сохранения импульса

Импульсом системы МТ называется

.

Возьмем производную по времени от этого уравнения

.

Воспользуемся вторым законом Ньютона для каждой МТ, тогда справа будет сумма всех сил, действующих на все МТ. Внешние силы из-за замкнутости системы равны нулю, а сумма внутренних сил по третьему закону Ньютона также обращается в нуль. Следовательно,

, и

сумма импульсов МТ в замкнутой системе остается постоянной во времени.

Если равна нулю только проекция внешних сил на какое-то направление, то сохраняется только проекция полного импульса на это направление, например

.

13 Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала. Их связь.

 

 

Введем понятие момента силы. Пусть  — какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы или момента вектора импульса. Ее называют началом или полюсом. Обозначим  радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы . Моментом силы  относительно точки  называется векторное произведение

.

Нетрудно показать, что момент  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы. Это связано с тем, что величина момента равна площади параллелограмма. Два приведенных на рисунке параллелограмма  и  имеют одинаковую площадь.

Моментом  нескольких сил относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.

Аналогично определяется момент импульса  МТ относительно точки или полюса . Так называется векторное произведение

.

Целесообразность введения моментов импульса и силы оправдывается тем, что они связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов. Предположим сначала, что начало  неподвижно. Дифференцируя уравнение для момента импульса МТ по времени, получаем . Но при неподвижном начале  импульс частицы  коллинеарен с ее скоростью . Кроме того, . Значит, . Отсюда

.

Это и есть уравнение моментов для одной МТ. Оно справедливо как в ньютоновской, так и в релятивистской механике.

Моменты импульса и силы, а также уравнение моментов может быть спроектировано на неподвижную ось. Такая задача необходима, если эта ось жестко связана с системой МТ, а также твердого тела. И вращение может быть происходить только вокруг этой оси. Эта ось стандартно обозначается через . Тогда уравнение моментов будет выглядеть следующим образом:

.