58 Самоиндукция. Коэффициенты индуктивности.
Мы знаем, что всякий ток в проводнике создает магнитное поле. Но это поле, начав изменяться, в свою очередь влияет на вызвавший его ток. Это явление называется самоиндукцией.
Если в пространстве нет ферромагнетиков, то магнитный поток через виток с током пропорционален протекающему в нем току носит название коэффициента самоиндукции провода. Он зависит только размеров и конфигурации проводника. Тогда закон электромагнитной индукции будет следующим
.
.
Для длинного соленоида вычисляется и равно
,
где
—
плотность витков на единицу длины, а
—
объем пространства внутри соленоида.
В
системе СИ единицей измерения коэффициента
самоиндукции является Гн (генри,
).
Если рядом расположенных проводников с токами много, то кроме коэффициентов самоиндукции вводятся коэффициенты взаимной индукции, которые описывают часть ЭДС индукции, возникающей под воздействием другого тока
.
Коэффициенты взаимной индукции также измеряются в Гн.
59 Энергия магнитного поля.
Вычисление энергии проводника приводит к формуле
.
В случае длинного соленоида эта формула преобразуется к
.
Отсюда
легко получить плотность энергии
магнитного поля (
)
.
Эта формула годится при любой конфигурации магнитного поля.
60 Ток смещения.
Начнем с теоремы о циркуляции магнитного поля:
.
означает алгебраическую сумму всех токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром . Это уравнение может быть переписано в дифференциальном виде:
, |
(1) |
где — вектор плотности тока. Как мы сейчас увидим, это уравнение не полно. Вспомним, что закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме выглядит так:
.
Теперь применим оператор дивергенции к уравнению (1). Так как всегда дивергенция, примененная к ротору, дает нуль, то получается:
.
Такой вариант закона сохранения заряда получается только в случае, когда плотность заряда не зависит от времени, т.е. задача стационарна. Но уравнения электромагнитного поля должны выполняться и для переменных полей. Следовательно, к правой части уравнения (1) надо добавить член, чтобы дивергенция от правой части всегда обращалась в нуль.
Такой член можно получить, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора смещения электрического поля:
.
Эта
формула получена из известной вам
теоремы Гаусса умножением на
(
в
вакууме), заменой вектора напряженности
электрического поля на вектор смещения
и обозначением алгебраической суммы
всех зарядов внутри объема, ограниченного
замкнутой поверхностью
,
через
.
В дифференциальном виде это уравнение
выглядит так:
.
Дифференцируя это соотношение по времени, получаем:
.
Точка над вектором смещения означает производную по времени.
Пользуясь теперь уравнением закона сохранения заряда, получаем:
,
то
есть производная по времени от вектора
смещения должна быть добавлена в теорему
циркуляции магнитного поля. Максвелл
назвал этот член плотностью тока смещения
,
а сумму обычного тока и тока смещения
полным током. Конечно ток смещения
никакой не ток, но ведет себя подобно
ему в нестационарных задачах.
Окончательно
|
(2) |
.
Уравнение (2) является одним из уравнением Максвелла.
Вопрос: а действительно ли существует такой ток смещения. Ответ: результат Максвелла давно подтвержден на эксперименте. На рисунке справа представлен один из таких экспериментов. На нем нарисован конденсатор, присоединенный к цепи переменного тока. В случае переменного тока в промежутке между обкладками электрическое поле становится переменным и там же возникает магнитное поле, которого в электростатике не наблюдается.
То есть Максвелл (теоретик) открыл, что изменение электрического поля создает магнитное поле. Аналогично закону электромагнитной индукции.