54 Энергия заряженного конденсатора. Плотность электрической энергии. Энергия системы заряженных тел.
Вычислим
энергию заряженного конденсатора. Пусть
первоначально обкладки конденсатора
не заряжены. Будем переносить положительный
(ил отрицательный) заряд малыми
порциями
с
одной обкладки на другую. Для переноса
необходимо совершить работу против
электрического поля;
,
где — мгновенное значение разности потенциалов между обкладками. Эта работа полностью идет на увеличение электрической энергии конденсатора
.
Интегрируя, получим
.
Энергия взаимодействия точечных зарядов получается при переносе их из бесконечности в то место, где они расположены. Получается формула
,
где штрих при потенциале означает, что при его расчете учитываются все заряды, кроме того, на который они действуют. Для непрерывно распределенных зарядов получается интеграл по объему, занимаемому зарядами
,
где — объемная плотность зарядов.
Так
как электрическое поле конденсатора
сконцентрировано внутри и однородно,
то можно считать, что энергия поля тоже
распределена внутри конденсатора. Если
разделить вычисленную энергию на объем
,
где
—
площадь обкладки, то получится объемная
плотность энергии
.
Можно показать, что эта формула верна при любой конфигурации электрического поля.
55 Электромагнитная индукция
Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в 1831 г. Для демонстрации этого явления возьмем неподвижный магнит и проволочную катушку, концы которой соединены с гальванометром. Если катушку приближать к одному из полюсов магнита, то во время движения стрелка гальванометра отклоняется — в катушке возбуждается электрический ток. При движении катушки в обратном направлении направление тока меняется на противоположное. Магнит можно заменить другой катушкой с током или электромагнитом. Этот ток называется индукционным током, а само явление — электромагнитной индукцией.
Возбуждение
электрического тока при движении
проводника в магнитном поле объясняется
действием силы Лоренца, возникающей
при движении проводника. Рассмотрим
простейший случай, когда два параллельных
провода
и
помещены
в постоянное однородное магнитное поле,
перпендикулярное к плоскости рисунка
и направленное на нас. (см. рис.) Слева
провода
и
замкнуты,
справа — разомкнуты. Вдоль проводов
свободно движется проводящий мостик
.
Когда мостик движется вправо со скоростью
,
вместе с ним движутся электроны и
положительные ионы. На каждый движущийся
заряд
в
магнитном поле действует сила Лоренца
.
На положительный ион она действует
вниз, на отрицательный электрон — вверх.
Электроны начнут перемещаться вверх и
там будет скапливаться отрицательный
заряд, внизу останется больше положительных
ионов. То есть положительные и отрицательные
заряды разделяются, возникает электрическое
поле вдоль мостика, и потечет ток. Этот
ток называется индукционным. Ток потечет
и в других частях контура
.
На рисунке токи изображены сплошными
стрелками.
Возникает
напряженность стороннего поля, равная
.Электродвижущая
сила, создаваемая этим полем, называется
электродвижущей силой индукции и
обозначается
.
В рассматриваемом случае
,
где
—
длина мостика. Знак минус поставлен
потому, что стороннее поле
направлено
против положительного обхода контура,
определяемого вектором
по
правилу правого винта. Величина
есть
приращение площади контура
в
единицу времени. Поэтому
равна
,
т.е. скорости приращения магнитного
потока, пронизывающего площадь контура
.
Таким образом,
.
К этой формуле необходимо добавить правило, которое позволяет быстро определять направление индукционного тока. Оно носит название правило Ленца и гласит: Индукционный ток всегда имеет такое направление, что его собственное магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, его вызывающего.
Возникающий в проводнике ток исчезает потому, что существует сопротивление. Если бы сопротивления не было, то раз возникнув, ток продолжался бесконечно долго. Такие условия встречаются в сверхпроводниках. Кроме этого, закон электромагнитной индукции позволяет объяснить диамагнетизм в атомах и молекулах. Магнитное поле возникшего дополнительного тока направлено в сторону, противоположную внешнему полю. И так как сопротивления в молекулах нет, то оно не исчезает.