39 Напряженность электростатического поля. Определение. Напряженность точечного заряда. Силовые линии.

Электростатика изучает взаимодействие неподвижных зарядов. В классическом случае считается, что заряд некоторым образом изменяет свойства окружающего его пространства — создает электрическое поле. Основная характеристика поля должна зависеть только от величины заряда, создающего поле. Эта характеристика называется напряженностью и получается делением электростатической силы на заряд, на который действует поле:

,

где — величина заряда, на который действует поле. Для точеного заряда напряженность получается из закона Кулона:

.

Отношение радиус-вектора  к его величине выбирает (вместе со знаком заряда) направление напряженности. Напряженность электрического поля нескольких неподвижных точечных зарядов  равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из этих зарядов в отсутствие остальных, т.е.

,

где  — радиус-вектор, проведенный из заряда  в точку наблюдения. Это положение называется принципом суперпозиции электростатических полей.

Эта формула позволяет рассчитать напряженность электрического поля любой системы неподвижных зарядов. При непрерывном распределении зарядов сумма переходит в интеграл.

Для изображения электрических полей пользуются силовыми линиями. Силовая линия есть математическая линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора  в той же точке. Положительное направление силовой линии совпадает с направлением . То есть силовые линии выходят из положительных зарядов и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии идут гуще там, где  сильнее. На рис. 1 изображены силовые линии равномерно заряженных шариков — положительного и отрицательного, а на рис. 2 — двух разноименных и двух одноименных зарядов равных величин.

Получение этих кривых в общем случае требует решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Эти картинки можно получить экспериментально.

41 Электрический диполь. Дипольный момент. Напряженность диполя на больших расстояниях.

Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Так называется система равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов  и , сдвинутых относительно друг друга на некоторое расстояние (см рис.) Пусть  — вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор  называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом. Проведем радиус-вектор  от точки  до точки наблюдения. Тогда при  величина напряженности, создаваемой диполем в точке наблюдения задается  формулой

,

где  - угол между  и .

 

41 Поток вектора и теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности  через малую площадку площадью  называется величина

,

где  — угол между вектором  и нормалью  к площадке (см рис.). Если ввести вектор , то . Если поверхность имеет сложную форму и вектор  разный в различных частях поверхности, то поток напряженности  выражается интегральной формулой

.

Так как вектор напряженности от системы зарядов вычисляется по принципу суперпозиции, то поток полного вектора напряженности через заданную поверхность равнее сумме потоков через ту же поверхность каждого из векторов напряженности.

Перейдем к теореме Гаусса. Она определяет поток вектора через любую замкнутую поверхность . За положительную нормаль примем внешнюю нормаль. Тогда можно доказать, что поток  через замкнутую поверхность выражается формулой:

,

 

где все заряды в сумме находятся внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью (см. рис.). эту формулу легко получить, если поверхность является сферой, а один заряд расположен точно в центре сферы (см. след. рис.).

Теорема Гаусса выполняется для любого набора зарядов внутри объема и таким образом является хорошим уравнением для проверки вычислений электростатических полей. Однако, если система зарядов имеет симметрию, то теорему можно применять для вычисления этих полей. Покажем это на примере центрально симметричного расположения зарядов.

 

Пример. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.

Поверхностная плотность заряда  постоянна. Ввиду симметрии вектор  должен быть перпендикулярен к этой плоскости. Он направлен от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Ввиду симметрии длина вектора  может зависеть только от расстояния до заряженной плоскости, но не зависит от того, с какой стороны находится точка наблюдения. Построим цилиндр с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней (см. рис.). Если  — площадь основания, то поток вектора  через одно основание равен , а через оба — . Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как на ней векторы  и  взаимно перпендикулярны. Поток через всю поверхность цилиндра будет равен . Используя теорему Гаусса, получаем:

.

Отсюда . Величина напряженности не зависит от расстояния.

Много других симметричных задач можно решить подобным способом.