23 Пружинный маятник. Энергия маятника.

 

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

 

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

 

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

 

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

 

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

 

24 Физический маятник.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси. Точка  пересечения ее с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника. Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия . Момент силы тяжести , приложенной к центру масс  выражается формулой

,

где  расстояние от центра масс до точки подвеса. Уравнение вращательного движения маятника выглядит так

,

где — момент инерции маятника относительно оси . Правая часть уравнения нелинейна относительна угла  и решать его трудно. Однако, если угол мал , то  и мы получаем уравнение гармонического колебания величины

.

Отсюда частота колебаний физического маятника равна

и период

.

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Тогда , , где  — длина маятника и период равен

.

 

25 Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение, вид решения, график,

Затухающие колебания — это колебания, при которых уменьшается со временем амплитуда.

Рассмотрим механические колебания. При наличии трения энергия, а следовательно и амплитуда должны уменьшаться. К силе Гука для шарика на пружине надо добавить силу сопротивления среды, которую выберем пропорциональной скорости движения шарика

,

где  — коэффициент сопротивления среды.

Если использовать силу сухого трения, то задача сильно усложняется.

Тогда уравнение движения шарика будет выглядеть так

.

Разделим обе части уравнения на массу и перенесем все члены уравнения в левую часть

.

Обозначим  и  и перепишем уравнение в виде (  — коэффициент затухания):

.

Решение этого уравнения известно:

,

где  — начальная амплитуда,  — начальная фаза,  — частота затухающих колебаний. Эти колебания не являются гармоническими, так максимальное отклонение колеблющейся величины убывает со временем по закону

.

Частота затухающих колебаний также зависит от  и всегда меньше частоты незатухающих колебаний .

Вид решения зависит от соотношения между  и . Если , то график решения представлен на рисунке. Пунктирные линии обозначают границы, между которыми изменяется решение. Эти границы задаются зависимостью амплитуды от времени.

В случае их равенства и обратного неравенства получаются графики, приведенные на следующем рисунке. Такое движение называются апериодическим.