21 Колебания. Разные типы колебаний.

 

Колебаниями называются процессы, повторяющиеся во времени. Система, в которой могут существовать колебания, называется колебательной системой или осциллятором.

При описании колебательных процессов, независимо от их природы, используется единый математический аппарат. Как правило, это — дифференциальное уравнение (либо система дифференциальных уравнений), решение которого выражает характер зависимости параметров колебательного процесса от времени.

По своей природе колебания могут быть механическими, электрическими (электромагнитными), акустическими, тепловыми и др. К механическим колебаниям относятся, например, колебания маятника, груза на пружине, колебание струны, вибрация. К электрическим колебаниям — колебания электрического тока в цепи. К электромагнитным колебаниям — колебания электрического и магнитного полей в электромагнитной волне.

По характеру колебательного процесса различают гармонические и негармонические колебания.

По способу возбуждения колебания разделяются на свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

Свободные колебания возникают в результате кратковременного воздействия на систему и не поддерживаются путем подведения энергии в процессе колебаний.

Вынужденные колебания возникают при искусственном периодическом воздействии на колебательную систему. Например, колебания тока в цепи при подаче переменного напряжения от генератора.

Параметрические колебания возникают при периодическом изменении какого-либо параметра системы. Например, в случае маятника можно периодически менять длину нити подвеса, а в случае электрического контура — емкость конденсатора. При определенных условиях периодическое изменение параметра приводит к усилению колебаний; это явление называется параметрическим резонансом. Раскачивание детских качелей — пример параметрического резонанса.

Автоколебания совершаются в системе за счет энергии от внешнего источника, не обладающего колебательными свойствами. В таких случаях частота колебаний определяется параметрами системы. Пример: часы.

По характеру изменения амплитуды колебаний различают незатухающие, затухающие, нарастающие и модулированные колебания.

По характеру колебательных процессов колебательные системы могут быть разделены на линейные и нелинейные.

Линейные колебательные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. В таких системах выполняется принцип суперпозиции, то есть колебательный процесс можно рассматривать как алгебраическую или векторную сумму простых колебательных процессов. В нелинейных системах принцип суперпозиции не выполняется и они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В этом случае изменение амплитуды приводит к изменению характера колебаний.

 

22 Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного процесса. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называется движение , происходящее по закону синуса (или косинуса):

,

,

где  — мгновенное значение колеблющейся величины в момент времени ,  — амплитуда колебаний, равная наибольшему значению ,  — фаза колебания, определяющая мгновенное значение колеблющейся величины,  — круговая частота колебаний,   — начальная фаза колебаний. Время, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом колебания . Легко показать, что

.

Величина  называется частотой колебания. Единица измерения частоты в СИ — 1 герц=1с^-1. Выбор синуса или косинуса связан с удобством при рассмотрении конкретной задачи. Всегда можно изменить одну функцию на другую, изменив фазу на . Результат при этом не изменится.

Выведем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Возьмем, например

и продифференцируем величину  по времени два раза:

,

.

Из последнего уравнения получаем

.

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является ранее приведенные формулы для . При этом величины амплитуды и начальной фазы должны быть заданы отдельно.

Простейший пример гармонических колебаний получается при рассмотрении движения шарика, жестко связанного с невесомой пружиной. При этом считается, что трения нет. Пусть  — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины , то возникает сила , стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях  справедлив закон Гука . Тогда уравнение движения тела имеет вид

.

Если положить , то уравнение превратится в

,

то есть в уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения представимо в виде , где  и  — любые. Отсюда также следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

и периодом

.

Период колебаний  не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью колебаний, выполняется, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука не выполняется и появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

 

Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями

,   .

Подставляем сюда зависимость  от времени и получаем

,   .

Учитывая формулу для частоты, получаем

.

То есть механическая энергия в этом случае сохраняется.