Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВВЕДЕНИЕ_В_МЕХАНИКУ_СПЛОШНОЙ_СРЕДЫ .doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
735.74 Кб
Скачать

4 Примеры решения задач

Пример 1. Поле скоростей в эйлеровом пространстве имеет вид

. (4.1)

Найти: тензор скоростей деформаций; изменение плотности в процессе движения; закон движения; вектор перемещения как функцию лагранжевых коородинат ; тензор деформаций .

Запишем (4.1) в виде системы дифференциальных уравнений в эйлеровых координатах

,

и интегрируем

.

Постоянные интегрирования находим из начальных условий, показывающих, что в наячальный момент эйлеровы и лагранжевы координаты совпадают

А общее решение принимает вид

.

Получили закон движения сплошной среды. Т.к. вектор перемещений связан с эйлеровыми и лагранжевыми координатами по известным формулам , то из предыдущего получаем

.

Теперь все вспомогательные величины найдены, и мы можем ответить на все вопросы задачи.

  1. Тензор скоростей деформации находим по (4.1) дифференцированием по эйлеровым координатам

.

  1. Изменение плотности. Воспользуемся уравнением неразрывности, которое запишем в лагранжевых координатах

.

Здесь - якобиан перехода от лагранжевых к эйлеровым координатам, который находится по формуле

Подставляя это значение в уравнение неразрывности, получаем

.

Отсюда легко находим

.

Т.е. нашли закон изменения плотности в лагранжевых координатах. Для того, чтобы найти изменение плотности в эйлеровых координатах необходимо закон движения подставить в функцию начального распределения плотности

.

Окончательно имеем

.

  1. Закон движения

.

  1. Вектор перемещения (как функция лагранжевых координат)

.

  1. Тензор деформаций

.

Задача полностью решена

Пример 2. Заданы компоненты тензора напряжений в декартовой ортогональной системе координат

.

Найти главные напряжения, главные оси тензора напряжений и интенсивность напряжений.

Для нахождения главных напряжений воспользуемся известными формулами

.

Условия существования нетривиального решения по заданному тензору напряжений можно переписать в виде

.

Характеристическое уравнение

имеет следующие корни

,

которые являются главными напряжениями.

Подставляя первое главное значение в систему уравнений, получим первое главное направление (нормированный вектор)

.

Подставляя второе главное значение в систему уравнений, получим второе главное направление (нормированный вектор)

.

И, наконец, также находим третье главное направление

.

Таким образом, главные значения

,

главные направления

Получили три взаимно ортогональных направления.

Находим интенсивность напряжений. Воспользуемся формулой

,

в которую подставляем заданные компоненты тензора напряжения

.

Задача полностью решена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем пособии подробно с единых математических позиций представлены положения механики сплошной среды. Рассмотрены основные законы механики и выведены соответствующие уравнения: неразрывности и движения сплошной среды. Кроме введенных тензоров напряжений и деформаций представлены некоторые характеристики, которые необходимы в дальнейшем, при исследовании задач пластичности и разрушения. В пособии используется строгий, но не сложный математический аппарат. Все вводимые физические характеристики снабжены определениями и подробными разъяснениями. Предлагаемые примеры несмотря на свою простоту включают в себя основные положения, разобранные в общей части. Они оказываются полезными для усвоения материала, связанного с пространственным и материальным описанием движения сплошной среды. Настоящее пособие является основной подготовительной частью для дальнейшего описания протекающих процессов в средах с усложненными физическими свойствами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М., ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 272 с.

  2. Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред. М., Мир, 1991. – 560 с.

  3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., Изд. Моск. ун-та, 1990. – 310с.

  4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, т. 1, 1976. – 536 с.

  5. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. Изд. Моск. ун-та, 1973. – 164 с.

  6. Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 1: Теория и задачи. М.: «Московский лицей», 1996. - 396 с.

  7. Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 2. Ответы и решения. М.: «Московский лицей», 1996. - 394 с.

  8. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Высшая школа, 1976. - 272 с.

  9. Снеддон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости. М., Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. - 220 с.

  10. Хан Х. Теория упругости. М., Мир, 1988. – 344 с.

  11. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., высшая школа, 1972. – 368 с.

  12. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Ч. 1. Основы механики сплошной среды. М., Высш. шк., 1979. 384 с.

37