
- •Введение в механику сплошной среды
- •1 Основные понятия
- •1.1 Гипотеза сплошности
- •1.2 Непрерывные отображения
- •1.3 Движение сплошной среды
- •1.4 Скорость и ускорение
- •1.5 Меры физических величин
- •2 Основные тензорные величины
- •2.1 Тензор деформаций
- •2.2 Геометрически линейная механика
- •2.3 Геометрический смысл компонент деформации
- •2.4 Главные направления и главные деформации
- •2.5 Тензор скоростей деформаций
- •2.6 Вектор напряжений
- •2.7 Тензор напряжений
- •2.8 Главные направления и главные напряжения
- •2.9 Интенсивность напряженийя
- •3 Фундаментальные законы механики
- •3.1 Теорема переноса
- •3.2 Закон сохранения массы
- •3.3 Закон сохранения импульса
- •3.4 Закон сохранения момента импульса
- •4 Примеры решения задач
- •Тензор деформаций
4 Примеры решения задач
Пример 1. Поле скоростей в эйлеровом пространстве имеет вид
. (4.1)
Найти:
тензор скоростей деформаций; изменение
плотности в процессе движения; закон
движения; вектор перемещения как функцию
лагранжевых коородинат
;
тензор деформаций
.
Запишем (4.1) в виде системы дифференциальных уравнений в эйлеровых координатах
,
и интегрируем
.
Постоянные интегрирования находим из начальных условий, показывающих, что в наячальный момент эйлеровы и лагранжевы координаты совпадают
А общее решение принимает вид
.
Получили
закон движения сплошной среды. Т.к.
вектор перемещений связан с эйлеровыми
и лагранжевыми координатами по известным
формулам
,
то из предыдущего получаем
.
Теперь все вспомогательные величины найдены, и мы можем ответить на все вопросы задачи.
Тензор скоростей деформации находим по (4.1) дифференцированием по эйлеровым координатам
.
Изменение плотности. Воспользуемся уравнением неразрывности, которое запишем в лагранжевых координатах
.
Здесь
- якобиан перехода от лагранжевых к
эйлеровым координатам, который находится
по формуле
Подставляя это значение в уравнение неразрывности, получаем
.
Отсюда легко находим
.
Т.е. нашли закон изменения плотности в лагранжевых координатах. Для того, чтобы найти изменение плотности в эйлеровых координатах необходимо закон движения подставить в функцию начального распределения плотности
.
Окончательно имеем
.
Закон движения
.
Вектор перемещения (как функция лагранжевых координат)
.
Тензор деформаций
.
Задача полностью решена
Пример 2. Заданы компоненты тензора напряжений в декартовой ортогональной системе координат
.
Найти главные напряжения, главные оси тензора напряжений и интенсивность напряжений.
Для нахождения главных напряжений воспользуемся известными формулами
.
Условия существования нетривиального решения по заданному тензору напряжений можно переписать в виде
.
Характеристическое уравнение
имеет следующие корни
,
которые являются главными напряжениями.
Подставляя первое главное значение в систему уравнений, получим первое главное направление (нормированный вектор)
.
Подставляя второе главное значение в систему уравнений, получим второе главное направление (нормированный вектор)
.
И, наконец, также находим третье главное направление
.
Таким образом, главные значения
,
главные направления
Получили три взаимно ортогональных направления.
Находим интенсивность напряжений. Воспользуемся формулой
,
в которую подставляем заданные компоненты тензора напряжения
.
Задача полностью решена.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем пособии подробно с единых математических позиций представлены положения механики сплошной среды. Рассмотрены основные законы механики и выведены соответствующие уравнения: неразрывности и движения сплошной среды. Кроме введенных тензоров напряжений и деформаций представлены некоторые характеристики, которые необходимы в дальнейшем, при исследовании задач пластичности и разрушения. В пособии используется строгий, но не сложный математический аппарат. Все вводимые физические характеристики снабжены определениями и подробными разъяснениями. Предлагаемые примеры несмотря на свою простоту включают в себя основные положения, разобранные в общей части. Они оказываются полезными для усвоения материала, связанного с пространственным и материальным описанием движения сплошной среды. Настоящее пособие является основной подготовительной частью для дальнейшего описания протекающих процессов в средах с усложненными физическими свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М., ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 272 с.
Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред. М., Мир, 1991. – 560 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., Изд. Моск. ун-та, 1990. – 310с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, т. 1, 1976. – 536 с.
Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. Изд. Моск. ун-та, 1973. – 164 с.
Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 1: Теория и задачи. М.: «Московский лицей», 1996. - 396 с.
Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 2. Ответы и решения. М.: «Московский лицей», 1996. - 394 с.
Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Высшая школа, 1976. - 272 с.
Снеддон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости. М., Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. - 220 с.
Хан Х. Теория упругости. М., Мир, 1988. – 344 с.
Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., высшая школа, 1972. – 368 с.
Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Ч. 1. Основы механики сплошной среды. М., Высш. шк., 1979. 384 с.