1.2 Непрерывные отображения

Деформация. Определение среды как сплошной (СС) и введение материальных точек приводит к формулировке основных положений механики сплошных сред, соответствующих непрерывной модели физических систем, которая оперирует основными понятиями теории поля. Главной задачей теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в евклидовом пространстве механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени. Для классической теории поля характерно использование гипотезы, согласно которой реальное пространство является евклидовым. Таким образом, всегда возможно введение неподвижной декартовой системы координат . Рассмотрим две области и пространства, содержащие некоторое количество непрерывно распределенной материи. Опишем деформацию в физическом смысле, переводящую вещество из области в область см. рис. Пусть - вектор произвольной точки в при деформации переходит в , соответствующий точке , в области . Такую деформацию можно описать преобразованиями

(1.1)

(1.2)

Если пробегает множество точек , то по (1.1) его образ пробегает множество точек , это позволяет говорить, что деформируется в , и, наоборот, из (1.2) вытекает, что деформируется в . В дальнейшем вместо координат с индексом «0» будем иногда использовать обозначения .

Аксиома непрерывности пространства гласит: Любая деформация может быть описана лишь однозначными преобразованиями, имеющими непрерывные производные нужного порядка.

Эта аксиома исключает нереальную деформацию, а часто и физически допустимые сингулярности. Математически это условие означает, что якобиан деформации

удовлетворяет следующему соотношению

.

Следствия из аксиомы непрерывности. Известное соотношение между элементами объема деформированной и недеформированной областей

,

позволяет сделать следующие заключения: 1) материю, находящуюся в конечном объеме, невозможно путем деформации перевести в нулевой или бесконечно большой объем; 2) материальная частица до деформации остается частицей и после деформации.

1.3 Движение сплошной среды

Движение сплошной среды. Движение СС можно определить как однопараметрическое семейство деформаций, где параметром является время:

(1.3)

(1.4)

Другими словами, (1.3) определяет отображение материальных точек СС, находящихся в объеме в материальные точки, находящиеся в в любой момент времени .

Аксиома непрерывности в отношении времени. Любое преобразование, описывающее движение, имеет непрерывные частные производные по времени сколь угодно высокого порядка (практически достаточно до третьего). Эта аксиома тесно связана с бесконечной делимостью времени.

Пример «движения» не удовлетворяющего аксиоме непрерывности в отношении времени. Дискретное движения объектов, которое можно наблюдать, например, на экране монитора. Это движение, по существу, представляет собой конечную систему неподвижных кратковременных положений объектов в некоторых положениях, и хотя при частой смене этих положений создается впечатление непрерывного движения, в действительности оно непрерывным не является.

Материальное и пространственное описания. В теоретической механике любая точка, входящая в систему имела свой номер. Для конкретизации такой точки надо указать ее номер, тогда уравнения движения позволят в любой момент времени определить координаты положения этой точки в пространстве. В сплошной среде пересчитать точки невозможно. И для конкретизации отдельной частицы невозможно указать ее номер. Однако, как следует из уравнений (1.3), мы можем конкретизировать частицу координатами ее положения в начальный момент времени, пусть она зафиксирована радиус–вектором . Если уравнения движения СС (1.3) известны, то они позволяют определить координаты места в пространстве, которое займет эта частица в текущий момент времени

.

Но это уравнения движения одной выбранной материальной точки, где вместо ее номера (как было в теоретической механике) введены ее координаты в начальный момент времени. Характерно, что координаты любой материальной частицы, которые они имели в начальный момент времени, в процессе движения меняться не будут. И если пробегает все точки начального состояния, то (1.3) позволит определить координаты всех этих же материальных точек (которые в силу следствия из гипотезы непрерывности остаются материальными точками) в любой момент времени. По этой причине координаты материальных точек в начальный момент времени называются материальными координатами или лагранжевыми координатами. Координаты же тех точек пространства, в которых находятся материальные частицы в момент времени , называются пространственными координатами или эйлеровыми координатами. С другой стороны, соотношения (1.4) можно рассматривать как отображение, позволяющее найти начальные (материальные) координаты частиц, находящихся в данный момент времени в точках пространства, определяемых радиус-вектором . Интересно отметить, что для описания различных процессов в СС мы можем выбирать или материальные, или пространственные координаты. Если выбраны материальные координаты, то (1.3) позволяет определить пространственные, а если выбраны пространственные, то (1.4) позволяют определять материальные.

Определение. Если в качестве независимых выбраны материальные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется лагранжево описание движения СС. Если в качестве независимых выбраны пространственные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется эйлерово описание движения СС.

Пример. В качестве примера рассмотрим скалярное поле температур, которое имеет текущая река. Представим себе ситуацию, когда к каждой материальной частице воды прикреплен градусник, перемещающийся так же как и частица. Взглянув в некоторый момент времени на эти градусники, мы увидим поле температур в данный момент. Теперь рассмотрим ситуацию, кода все градусники прикреплены к точкам пространства. Каждый градусник показывает температуру той частицы воды, которая омывает его в данный момент. Взглянув на эти градусники в тот же момент времени, мы увидим то же поле температур. И хотя в первом случае градусники перемещались, а во втором находились в покое, поле температур в один и тот же момент времени они показывали одинаковое. В первом случае использовалось лагранжево описание, а во втором эйлерово.