ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Лурье М.М.

Введение в механику сплошной среды

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону

2007

Печатается по решению кафедры математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках проекта K-07-T-41 программы развития ЮФУ.

Ответственный редактор ст. преп. Лурье М.М.

Компьютерный набор и верстка ст. преп. Лурье М.М.

В данном пособии изложены основные постулаты и приближения, разобраны материальное и пространственное описания движения сплошной среды. Сформулированы балансные законы системы материальных точек, и получены основные уравнения неразрывности, движения и симметрии механики сплошной среды. Приведены примеры получения закона движения в лагранжевом и эйлеровом описании, рассмотрены методы определения главных деформаций и напряжений.

Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы «Математическое моделирование и компьютерная механика».

Может быть также использовано студентами и аспирантами факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области механики твердого деформируемого тела, механики жидкости и газа, математического моделирования и вычислительной математики

Содержание

Введение …………………………………..…………………… 4

1 Основные понятия …………………………..…………… 7

1.1 Гипотеза сплошности ………………………………………….. 7

1.2 Непрерывные отображения …………………………………… 9

1.3 Движение сплошной среды …………………………………... 11

1.4 Скорость и ускорение ………………………………………….. 13

1.5 Меры физических величин ……………………………………. 16

2 Основные тензорные величины ……………………………… 19

2.1 Тензор деформаций …………………………………………… 19

2.2 Геометрически линейная механика …………………………….. 20

2.3 Геометрический смысл компонент деформаций …………. 22

2.4 Главные направления и главные деформации ……………….. 24

2.5 Тензор скоростей деформаций…………………………………… 25

2.6 Вектор напряжений ……………………………………………. 26

2.7 Тензор напряжений …………………………………………… 27

2.8 Главные направления и главные напряжения ……………….. 29

2.9 Интенсивность напряжений ……………………………………. 31

3 Фундаментальные законы механики …………….………. 32

3.1 Теорема переноса …………………………………………... 32

3.2 Закон сохранения массы ……………………………..……. 32

3.3 Закон сохранения импульса …………………………………… 33

3.4 Закон сохранения момента импульса ……………………… 33

4 Примеры решения задач …………………………………… 34

Заключение ………………….…………………………………………… 38

Список литературы ………………………..……………………………… 38

ВВЕДЕНИЕ

Механика сплошной среды (МСС) – раздел теоретической физики, в котором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред с учетом и под влиянием физических полей различной природы. В отличие от теоретической механики, где изучается движение системы материальных точек и твердых тел, в МСС приходится оценивать не только влияние на частицы внешних факторов, но и учитывать взаимовлияние их друг с другом и отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела. В связи с этим в круг вопросов МСС входят теории деформирования твердых тел, теории течения жидких и газообразных тел, теории, изучающие поведения тел, которые проявляют признаки и упругости и течения. Более того, здесь рассматриваются теории перехода тела из одного агрегатного состояния в другое, пластичность, поляризации, намагниченности, диффузии и другие фазовые превращения. Тем не менее, разработанные методы справедливы не для любых объектов, с которыми оперирует техника, и тем более природа. И это связано исключительно с атомно-молекулярным строением тел. Только в том случае, когда движением отдельных корпускулярных частиц, каковыми являются атомы и молекулы, можно пренебречь в общем движении их большой массы, можно говорить о законах движения механики сплошной среды. В связи с этим можно сказать, что строительные конструкции, шестерни механизмов вращения, истечение газа из сопла, обтекание жидкостью твердых тел и многое другое можно рассматривать методами МСС. А движение отдельной молекулы в замкнутом сосуде, поведение нано-трубок в электрических и магнитных полях, растяжение нано-пленок и прочие проблемы нано-мира не входят в круг задач МСС. Поэтому в основе этой науки лежит гипотеза о сплошности или непрерывности вещества, которая позволяет рассматривать все тела с непрерывно распределенной массой, отбрасывая их реальное дискретное строение. В этом случае удается весьма успешно оперировать с полями физических величин как непрерывными функциями. Каждую точку можем считать предельной точкой множества распределенных материальных точек, что, в свою очередь, позволяет использовать хорошо разработанный аппарат исчисления бесконечно малых. Исследуя поведение материальных частиц, механика сплошной среды занимает промежуточное положение между механикой, физикой твердого тела и молекулярной физикой. Это проявляется в том, что материальные частицы в механике сплошной среды, с одной стороны, подчиняются фундаментальным законам механики, но с другой стороны, они испытывают внутренние взаимодействия, которые являются прямым следствием внутреннего межмолекулярного взаимодействия. Это обстоятельство приводит к тому, что модели МСС строятся, как с использованием фундаментальных законов механики, справедливых для материальных систем микроскопических, макроскопических и мегаскопических размеров, так и других дополнительных законов межмолекулярного взаимодействия, которые имеют место лишь в определенных рамках изменения внешних параметров. Примером фундаментальных законов для твердого тела могут служить законы сохранения импульса и момента импульса, а дополнительным законом - линейный закон Гука, т.к. при больших деформациях возникает пластичность и линейность нарушается.

Уравнения, получающиеся из фундаментальных и дополнительных законов, должны обладать полнотой, в том смысле, что их вполне достаточно для получения решения, описывающего поведение рассматриваемого тела или протекающего в нем процесса. Основной задачей МСС является построение таких систем уравнений, которые и определяют соответствующую модель эволюционирующей материальной среды.

Актуальность пособия. Несмотря на то, что первые уравнения МСС были получены более двухсот лет назад, и к настоящему времени имеются учебные пособия и даже фундаментальные монографии, актуальность самой науки неуклонно возрастает. Особенно это стало заметно в связи с применением в технике активных материалов, таких, которые способны преобразовывать механическую энергию в другие виды энергии, и наоборот. В классических учебниках такие модели не описываются, а фундаментальные монографии порой трудно доступны, а порой трудны для понимания учащимися. Все это делает актуальным разработку вспомогательных учебных пособий, которые бы описывали усложненные модели, с одной стороны, и обладали свойством математической строгости и физической простоты в понимании, с другой стороны.

Цели и задачи курса. Настоящее учебное пособие имеет своими целями последовательное изучение гипотез и аксиом; фундаментальных балансных законов и вывод, вытекающих из них уравнений; принципов выбора вспомогательных законов и получающихся определяющих соотношений; описание взаимодействующих физических полей с указанием их места и роли в классических и неклассических моделях МСС. Другой целью является выработка практических навыков математического моделирования механических систем на основе изложенных принципов и законов с применением численных методов и программных средств.

Задачами пособия являются: обеспечение теоретической подготовки в области фундаментальных законов естествознания; приобретение практического опыта в правильной постановке задачи, которые необходимы при использовании современных вычислительных комплексов; тренировка способностей анализа результатов и развитие инженерной интуиции.

Пути достижения. Для достижения поставленных задач необходимо последовательно изучить основы тензорного анализа, основы механики сплошных сред, основы термодинамики и электродинамики. Блок предлагаемых практических задач позволит научиться ставить классические начально-краевые задачи теории упругости, гидромеханики, аэродинамики, задачи по расчету напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций из анизотропных и неоднородных материалов, рассчитывать температурные и электромагнитные поля в средах определенного геометрического вида.