6.2.2. Критерий Михайлова
Этот критерий позволяет оценить устойчивость САУ по годографу Михайлова – кривой, представляющая собой геометрическое место концов переменного характеристического вектора САУ. Формула для расчета и построения годографа Михайлова в комплексной плоскости получается подстановкой в характеристический полином САУ комплексной частоты j вместо р:
|
(21)
|
Годограф по формуле (21) рассчитывают, изменяя частоту от 0 до +, и строят в комплексной плоскости.
Критерий Михайлова определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до + годограф вектора Михайлова А(j) начинается на положительной части действительной оси и, не обращаясь в ноль, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов1 комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома САУ.
У устойчивых систем годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и при = 0 отсекает на действительной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а0.
По виду годографа Михайлова можно определить и граничное состояние устойчивости САУ: в случае границы устойчивости первого типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ нулевого корня (см. Error: Reference source not found) отсутствует свободный член характеристического уравнения а0 = 0 и годограф начинается из начала координат. При границе устойчивости второго типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ пары чисто мнимых корней (см. Error: Reference source not found), годограф проходит через начало координат (обращается в ноль) при некотором ненулевом значении , причем это значение и есть частота незатухающих колебаний системы [1, 2].
Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Михайлова исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. Error: Reference source not found и Error: Reference source not found). Формулы для расчета годографов Михайлова этих систем имеют вид, соответственно:
и
.
Годограф Михайлова для первой САУ показан на Error: Reference source not found. Как видно, его форма удовлетворяет всем условиям критерия:
годограф начинается на положительной части действительной оси (отсекая при = 0 на действительной оси отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а0 = 3);
не обращается в ноль;
с ростом значения частоты , поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно первый, второй квадрант и в третьем квадранте, при , уходит в бесконечность.
Годограф Михайлова для второй САУ показан на Error: Reference source not found. Как видно, его форма не удовлетворяет условиям критерия: годограф с ростом значения частоты проходит квадранты не последовательно – из первого сразу переходит в четвертый, где при уходит в бесконечность.
Как видно, результат оценки устойчивости рассматриваемых САУ по Михайлову совпадает с результатами анализа по Ляпунову (см. Error: Reference source not found и Error: Reference source not found) и по Гурвицу (см. Error: Reference source not found–а и Error: Reference source not found–б).
Следует отметить, что для систем с высоким порядком характеристического уравнения (n = 5 и более) отсчет квадрантов при проверке условий критерия Михайлова после четвертого продолжается против часовой стрелки в том же порядке. Т.е., например, у устойчивой САУ 5-го порядка годограф должен последовательно проходить четыре квадранта, возвращаться в первый (для годографа – по порядку пятый) и в нем уходить в бесконечность. Пример годографа Михайлова для устойчивой САУ 5-го порядка с формулой для расчета годографа вида:
показан на Error: Reference source not found. Для удобства анализа начальный участок годографа, полученные при малых значениях частоты , показан отдельным фрагментом. Видно, что годограф при = 0 начинается на положительной части действительной оси и, последовательно, против часовой стрелки, проходя пять квадрантов, в пятом уходит в бесконечность.
