6. Устойчивость систем автоматического управления

Устойчивостью называют свойство системы самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после того, как внешнее входное воздействия вывело ее из состояния равновесия. Равновесием называют состояние системы, когда управляемая величина y(t) постоянна, и все ее производные равны нулю. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.

Как уже отмечалось, процесс управления определяется переходным процессом: законом изменения y(t) после изменения x(t). Переходной процесс САУ можно получить решением дифференциального уравнения САУ (1). Это решение может быть представлено суммой двух составляющих, вынужденной у_в(t) и переходной y_п(t):

y(t) = у_в(t) + y_п(t),

где y_в(t) определяется свойствами системы и видом входного воздействия. САУ будет устойчивой, если с течением времени переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Однозначно судить об устойчивости системы можно по виду ее переходного процесса: затухающий переходной процесс (сходящийся к некоторой постоянной) соответствует устойчивой системе, расходящийся (стремящийся в бесконечность) – неустойчивой.

ПРИМЕРЫ переходных процессов неустойчивых САУ.

При исследовании устойчивости САУ решают следующие задачи:

• определение, является ли САУ устойчивой при заданных параметрах;

• определение допустимых изменений параметров САУ без нарушения устойчивости;

• поиск параметров и/или структуры САУ, при которых она может стать устойчивой.

6.1. Теорема Ляпунова

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных САУ формулируется в теореме Ляпунова:

• если характеристическое уравнение САУ имеет все корни с отрицательной действительной частью, то система устойчива;

• если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то САУ неустойчива.

Характеристическое уравнение САУ записывается по виду дифференциального уравнения или передаточной функции системы. Так, из уравнения (1) после преобразования Лапласа мы имеем (см. вывод (2)):

.

Полином в левой части равенства вида:

называется характеристическим. Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы или звена:

(16)

Уравнение в виде (16) может быть также записано по виду передаточной функции САУ приравниванием знаменателя к нулю:

(17)

Корни характеристического уравнения, количество которых соответствует порядку характеристического уравнения САУ, могут быть действительными, комплексными и чисто мнимыми. Их можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р. Согласно теореме, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Пример одного из возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения устойчивой САУ 5-ого порядка показан на Error: Reference source not found75.

Если хотя бы один из корней окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Примеры возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения неустойчивой САУ 5-ого порядка показаны на Error: Reference source not found.

В случае, если среди корней характеристического уравнения имеется нулевой корень или пара сопряженных чисто мнимых корней, расположенных на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Примеры возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения САУ 5-ого порядка, находящейся на границе устойчивости, приведены на Error: Reference source not found.

Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Такие системы практически неработоспособны [2, 3, 10, 11].

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по теореме Ляпунова и связь результатов оценки с переходной характеристикой САУ.

Пусть САУ 3-го порядка имеет характеристическое уравнение вида:

.

На Error: Reference source not found показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –3,55, а два других – комплексными сопряженными числами с отрицательной действительной частью –0,525: (–0,525 – 0,657j) и (–0,525 + 0,657j).

Распределение найденных корней в комплексной плоскости свидетельствует об устойчивости рассматриваемой САУ (см. Error: Reference source not found) – корни располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости, что по теореме Ляпунова является достаточным условием устойчивости. Переходная характеристика САУ, полученная с применением специального программного обеспечения моделирования систем по передаточным функциям VisSim, показана на Error: Reference source not found. Ее форма подтверждает результат анализа устойчивости по Ляпунову: процесс «сходится» к новому постоянному значению за время, приближенно равное 12 с.

Аналогично рассмотрим другую САУ 3-го порядка, с характеристическим уравнением вида:

.

На Error: Reference source not found показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –7,2, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 1,31: (1,31 + 4,64j) и (1,31 – 4,64j), т.е. распределение корней в комплексной плоскости свидетельствует по теореме Ляпунова о неустойчивости САУ.

Переходная характеристика рассматриваемой САУ, показанная на Error: Reference source not found, подтверждает результат анализа устойчивости по Ляпунову: процесс «расходится», т.е. система не может самостоятельно вернуться к равновесию после того, как ступенчатое воздействие на входе вывело ее из начального состояния равновесия.