4. Типовые элементарные звенья систем автоматического управления

На первом этапе проектирования САУ решаются задачи синтеза системы на основании данных о назначении системы и конструктивных особенностях объекта управления. При формировании структуры САУ на этом этапе используют функционально необходимые элементы систем, так называемые звенья САУ (датчики величин, преобразователи сигналов, регуляторы, исполнительные устройства и т.д.).

Вторым этапом проектирования САУ является анализ соответствия качественных характеристик проектируемой системы требуемым. Для проведения всех видов анализа САУ, рассмотренных в разделе 3, необходимо иметь ее модель в виде дифференциального уравнения вида (1) или передаточной функции вида (2).

Для получения моделей САУ вводят понятие типового элементарного звена. Под типовым элементарным звеном понимают совокупность элементов САУ, динамические процессы в которых описываются линейным дифференциальным уравнением вида (1) не выше второго порядка (n  2). Введение элементарных звеньев дает возможность свести все многообразие технических устройств к небольшому количеству типовых звеньев, что позволяет использовать общие методы анализа для любых САУ. Типы элементарных звеньев САУ приведены в Приложении 1.

4.1. Усилительное безынерционное звено

К звеньям этого типа относится любой элемент САУ, у которого в каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между выходной величиной y(t) и входным воздействием x(t), т.е. это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением вида:

y(t) = k x(t),

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) звена.

Строго говоря усилительное звено не является динамическим, поскольку изменение y(t) происходит мгновенно, сразу вслед за изменением x(t). Говорят, что дифференциальное уравнение звена имеет нулевой порядок. Передаточная функция звена имеет вид W(p) = k.

При подаче на вход единичной ступеньки x(t) = 1(t) на выходе мгновенно будет получен такой же сигнал, усиленный в k раз (Error: Reference source not found).

Понятно, что ни одно реальное техническое устройство не может мгновенно преобразовывать входное воздействие, однако быстродействие некоторых элементов САУ столь велико (длительность переходного процесса составляет величину менее секунды), что их можно считать звеньями этого типа. Примерами таких элементов является потенциометр, рычаг, электронный усилитель. В первом приближении, без учета явления скручивания и люфта, усилительным безынерционным звеном можно считать редуктор.

В литературе встречаются и другие названия усилительного безынерционного звена: усилитель, идеальное усилительное или пропорциональное звено [1, 2, 10, 13].

4.2. Апериодическое звено первого порядка

Звено этого типа (см. Приложение 1) описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

,

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) звена; Т – некоторая постоянная, имеющая размерность времени (постоянная времени звена).

На Error: Reference source not found показаны переходные характеристики апериодических звеньев первого порядка с k = 10 и разными постоянными времени Т. Видно, что при увеличении Т выходная величина звена y(t) медленнее достигает установившегося значения, равного k, т.е. постоянная времени Т характеризует инерционность звена, и определяет время переходного процесса t_p. В практических расчетах t_p для апериодического звена первого порядки принимают приближенно равным 3Т.

Передаточная функция звена имеет вид:

.

Апериодическими звеньями первого порядка являются такие устройства САУ, как электрические RL- и RC-контуры (используются в качестве корректирующих устройств САУ), электрический генератор постоянного тока (используется в качестве управляющего устройства САУ), датчик температуры – термопара, проточный резервуар с жидкостью или газом (объекты управления в химико-технологических САУ) и многое другое.

Получим модель динамики RC-контура теоретическим способом: запишем уравнения входной и выходной цепей (Error: Reference source not found) по закону Кирхгофа:

.

Целью моделирования является получение дифференциального уравнения вида (1), связывающего входную – U_вх(t) и выходную – U_вых(t) переменные RC-контура. Для этого нужно в уравнениях входной и выходной цепей избавиться от промежуточной внутренней переменной контура – тока i(t). Продифференцируем уравнение выходной цепи:

,

и подставим результат выражения i(t) в уравнение входной цепи:

.

Полученное уравнение соответствует дифференциальному уравнению апериодического звена первого порядка, для которого постоянная времени Т = RC, т.е. определяется номиналами резистора и конденсатора, используемых в RC-контуре; k = 1; y(t) = U_вых(t); x(t) = U_вх(t).

ПРИМЕР получения модели динамики генератора постоянного тока.

В литературе встречаются и другие названия апериодического звена первого порядка: инерционное звено первого порядка или релаксационное звено [1, 2, 7, 12].