1.Элементы теории множеств

Теория множеств – это раздел математики, в котором изучаются множества и операции над ними. Как самостоятельное направление в рамках математической науки эта теория начала свое развитие во второй половине девятнадцатого века и официальное признание получила в 1879 году на первом Международном конгрессе математиков в Цюрихе, где Ж. Адамар и А. Гурвиц сообщили о многочисленных содержательных примерах ее применения в математическом анализе. Основоположниками теории множеств считаются Р. Дедекинд (1831-1916.) и Г. Кантор (1845-1918). В настоящее время теория множеств представляет собой фундамент многих математических дисциплин и имеет большое прикладное значение.

1.1. Множества и операции над ними

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Оно первично, исходно и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Объекты, которые образуют множество, называются элементами (или членами) этого множества. Примерами множеств могут служить: множество адвокатов в некоторой юридической консультации, множество дел, рассмотренных каким-либо судом за предыдущий месяц, множество действительных чисел. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ….

Множество А считается заданным, если известно, из каких элементов оно состоит, т.е. если о любом объекте а можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет.

Если множество А содержит конечное число элементов, то оно называется конечным множеством. В противном случае А называется бесконечным множеством. Так, множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно. Если множество А состоит из п элементов, то пишут или п(А) = п.

Существует несколько способов задания множеств.

1. Множество можно задать словесным описанием его элементов, например:

а) Множество действительных чисел;

б) Множество правонарушений в Ярославской области за 2000 год

в) Множество студентов Ярославского госуниверситета.

2. Множество можно задать перечислением его элементов. При этом перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки, например: – множество, состоящее из элементов 2, х и у ; – множество, состоящее из натуральных чисел . Такое задание и обозначение применяется для конечных множеств, содержащих небольшое число элементов. Для задания конечных множеств, содержащих большое число элементов, оно слишком громоздко, и тем более оно неприменимо для бесконечных множеств.

3.Третий способ задания множества заключается в указании общего вида его элементов и их характеристического свойства. В этом случае поступают следующим образом: в фигурных скобках указывается общий вид элементов множества, затем проводится вертикальная черта, после которой формулируется характеристическое свойство. Например, множество – множество рациональных чисел.

Свойство считается характеристическим для элементов множества, если этому множеству принадлежат те и только те элементы, которые обладают данным свойством. Если характеристическое свойство элементов обозначить символом , то будем иметь запись . Посредством характеристического свойства можно задавать любые множества: и конечные, и бесконечные.

Для обозначения того, что является элементом множества (или что принадлежит ), применяется запись . Говорят, что два множества равны ( ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть если все элементы одного множества являются и элементами другого. Если множество не содержит никаких элементов, то оно называется пустым множеством и обозначается символом . Множество всех объектов, которые рассматриваются в конкретной задаче или ситуации, называется универсальным множеством и обозначается символом U.

Пусть – заданное множество элементов. Множество В называется подмножеством множества А (обозначение ), если каждый элемент множества является элементом множества . Заметим, что если и , то .

Операции над множествами.

Объединение множеств и есть множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или .

Пересечение множеств и есть множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат каждому из множеств и .

Разность множеств и есть множество , состоящее из таких элементов множества , которые не принадлежат множеству .

Частный случай разности множеств – операция дополнения множества до универсума.

Дополнением множества А до универсума U называется множество , состоящее из всех элементов универсального множества U, которые не принадлежат множеству , то есть разность .

Для пояснения различных соотношений между множествами свойств операций над ними используют диаграммы Эйлера-Венна. На этих диаграммах рассматриваемые множества изображаются в виде совокупностей точек кругов и прямоугольников, расположенных в плоскости.

На рисунках области, выделенные серым цветом, изображают соответственно объединение , пересечение , разность и дополнение .