Лекция № 5. Методы обработки результатов измерений.

Учет и исключение (или уменьшение) систематической погрешности представляют одну из самых сложных задач теории измерений. Способы решения этой задачи зависят от конкретных видов измерений, и не существует общей методики ее решения. Часто используется подход, основанный на всестороннем теоретическом анализе процедуры измерения и характеристик применяемой аппаратуры. Такой анализ может дать оценку границ систематической погрешности. При точных измерениях оценка систематической погрешности производится по результатам измерения искомой величины различными, принципиально независимыми методами с применением различной аппаратуры. Многие современные способы анализа систематической погрешности используют аппарат математической статистики (дисперсионный, регрессионный, корреляционный, спектральный анализ), теории принятия решений, теории игр и др.

Случайная погрешность в большинстве случаев может быть уменьшена с помощью относительно простой статистической обработки результатов измерений.

Промахи относятся к аномальным результатам измерений, которые могут быть следствием кратковременного воздействия на процесс измерения некоторого мешающего фактора, преобладающего над остальными. Промах может быть вызван ошибкой оператора, проводящего измерение, или сбоем измерительной аппаратуры. В этих случаях аномальный результат должен быть отброшен. Однако отбрасывание аномальных данных является спорным вопросом, по которому у специалистов нет единого мнения. Например, из истории физики известно, что именно аномальные результаты экспериментов привели к великим открытиям. Поэтому при научных исследованиях и в большинстве технических измерений необходимо тщательно проанализировать причину промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Тем не менее, в хорошо изученной ситуации, если не удается найти внешнюю причину промаха, вопрос об отбрасывании аномального отсчета должен быть решен на основе обработки всех данных эксперимента.

Вероятностные свойства серии измерений

Пусть имеется N наблюдений одной и той же величины, в результате которых получены отсчеты x₁, x₂,…,x­_N. Интересующее нас событие произошло, если отсчет .

Тогда вероятностью события называется предел, к которому стремится отношение числа m наступления этого события к числу N всех измерений при числе измерений стремящемся к бесконечности

.

Распределением вероятности F(x) называется вероятность того, что значение  некой случайной величины лежит в пределах

.

Пользуясь понятием распределения вероятностей можно найти вероятность того, что событие принадлежит некому интервалу

.

Вероятность принадлежности значения бесконечно малому интервалу можно выразить как

,

где - плотность вероятности.

Для плотности вероятности верно

.

Гистограмма распределения показывает, как часто встречаются те или иные отсчеты.

Рис. 5

По оси x откладывают границы интервалов, по оси y – относительную частоту попадания отсчетов в интервал

.

При и гистограмма превращается в график плотности вероятности.

Математическое ожидание  - число в окрестности которого концентрируются значения случайной величины:

.

Дисперсия D – это число, которое характеризует степень рассеяния значений случайной величины вокруг её математического ожидания

.

Величина называется средним квадратическим отклонением.

Нормальным распределением случайной величины называется распределение плотность которого равна

.

Важнейшие свойства нормального распределения

1. Если  имеет нормальное распределение , то и имеет нормальное распределение .

2. Если ₁ и ₂ имеют нормальные распределения и , то имеют нормальное распределение .

Обработка результатов измерений на основе закона Гаусса

Пусть истинное значение измеряемой величины X, а результаты измерений представляют собой ряд отсчетов x₁, x₂,…,x_N.

Пусть наблюдаемые значения имеют нормальное распределение .

Вероятность того, что все отсчеты попадут в бесконечно малый интервал равна произведению вероятностей того, что каждый отсвет попадет в этот интервал

.

Чем больше P, тем с большей вероятности наблюдаемые значения группируются вокруг истинного значения. Функция называется правдоподобием эксперимента.

Правдоподобие максимально в случае, когда

и

Первое условие можно записать как

,

где

,

что достигается при

.

Из последнего следует, что

,

т.е. выборочное среднее значение есть максимально правдоподобная оценка истинного значения измеряемой величины.

Второе условие

или .

Следовательно

.

т.е. максимально правдоподобная оценка стандартного квадратического отклонения равна выборочному среднему квадратическому отклонению отсчетов от истинного значения.

Величина

называется средним квадратическим отклонением одиночного наблюдения, которое дает максимально правдоподобную оценку стандартного среднеквадратического отклонения, т.е.

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение среднего S­_<x>­­ равно

.

Если имеются две независимые точечные оценки <x>₁ и <x>₂ одного и того же истинного значения с дисперсиями ₁ и _2­, то

,

при этом

.

Доверительным интервалом для  называется интервал в который с вероятностью . Вероятность  называется доверительной вероятностью.

Расчет погрешностей при многократных косвенных измерениях

Пусть u=f(x,y), где f(x|a_x, _1­) и f(x|a_y, _y­), причем x и y не кореллированы, т.е. не связаны между собой.

Разложим функцию u вряд Тейлора

.

Из свойств нормального распределения

<u>=f(a_x,a_y),

.

Для нормального распределения справедливо правило квадратичного суммирования погрешностей

Если величины x и y коррелированны или не подчиняются нормальному распределению, то

<u>=<f(x,y)>=f(a_x,a_y),

а дисперсия равна

,

где величина

называется ковариацией (корреляционным моментом) и характеризует степень статистической связи x и y.

Если x, y статически связаны друг с другом, то

.

Для погрешности косвенных измерений справедливы следующие формулы

Функциональная связь величин	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность

Обработка прямых измерений

Наибольшая абсолютная инструментальная погрешность может быть определена по формуле

,

где K - класс точности, x_max - наибольшее значение шкалы прибора.

Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу. Поэтому для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы.

Инструментальную погрешность невозможно уменьшить статистической обработкой отсчетов.

Случайная погрешность приводит к тому, что наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение находят как наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение.

Наилучшей оценкой истинного значения величины X является выборочное среднее значение

,

где N – число отсчетов, x_n – n-ый отсчет.

Для оценки разброса отсчетов при измерении используется выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов

.

Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратичным отклонением среднего значения

.

Доверительным интервалом называют интервал

.

Случайная составляющая погрешности многократных измерений

,

где t_ - коэффициент Стьюдента, определяющий во сколько раз необходимо увеличить среднее квадратическое отклонение от среднего, что бы при заданном числе измерений получить заданную надежность их результатов.

Полная погрешность прямых измерений

.

Промахи в отсчетах могут быть определены, например, по критерию Шовене, по которому вычисляется модуль отклонения аномального отсчета от среднего значения

,

затем вычисляется вероятность этого отклонения, а так же число измерений, которые дадут отсчеты, имеющие Z не меньше испытуемого. Если n<0,5, то отсчет x­_k считают промахом.

Иногда результаты M прямых измерений одной и той же величины необходимо объединить, при этом значение <x> и его погрешность определяются

, ,

где - статистический вес каждой серии измерений.

Обработка косвенных измерений

Пусть - функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x, y, … , значения найдены прямыми измерениями. Тогда

Если зафиксировать значения всех аргументов, кроме x, то приращение функции при изменении x

.

Если значение приращения мало, то функцию u=f(x) можно считать линейной и

,

Аналогично считаются приращения функции при изменении остальных аргументов, при этом для приращения функции используют формулу

или

.

Способы обнаружения систематических ошибок и внесение поправок.

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических погрешностей, будем называть неисправленными и в отличие от исправленных снабжать штрихами их обозначения. Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,

,

Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические погрешности, сумму которых для каждого i-го наблюдения будем обозначать через _i, то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину , называемую систематической погрешностью неисправленного среднего арифметического. Действительно,

,

.

Если систематические погрешности постоянны, т.е. то неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты измерений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные им по знаку:

.

Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их путем введения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самoгo измерения.

Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей. Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой

систематической погрешности. Ценность полученных при поверке результатов определяется их постоянством в течение некоторого промежутка времени и независимостью от тех изменений внешних условий, которые допустимы при эксплуатации средств измерений с заданной точностью. Тогда полученные при поверке данные могут быть использованы для вычисления поправок, необходимых для исправления результатов наблюдений.

Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.

Вначале рассмотрим случай, когда в ряде результатов наблюдений предполагается

наличие постоянной систематической погрешности. Для того чтобы удостовериться в том, исследователь, сделав несколько измерений, заменяет некоторые меры или измерительные приборы, включенные в установку и являющиеся предполагаемыми источниками постоянных систематических погрешностей, другими мерами и измерительными приборами и проводит еще несколько измерений.

Рассматриваемый способ обнаружения постоянных систематических погрешностей

можно сформулировать следующим образом: если неисправленные отклонения результатов наблюдений резко изменяются при изменении условий наблюдений, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от

условий наблюдений. При прогрессивной систематической погрешности последовательность неисправленных отклонений результатов наблюдений обнаруживает тенденцию к возрастанию или убыванию. Если же в ряде результатов наблюдений присутствует периодическая систематическая погрешность, то группы знаков плюс и минус в последовательности неисправленных отклонений результатов наблюдений могут периодически сменять друг друга, если, конечно, случайные погрешности не особенно велики.

Обобщая два рассмотренных случая, можно сказать: если последовательность знаков плюс сменяется последовательностью знаков минус или наоборот, то данный ряд результатов наблюдений обнаруживает прогрессивную погрешность, если группы знаков плюс и минус чередуются - периодическую погрешность.

Систематические погрешности являются детерминированными величинами, поэтому в принципе всегда могут быть вычислены и исключены из результатов измерений. После исключения систематических погрешностей получаем исправленные средние арифметические и исправленные отклонения результатов наблюдении, которые позволяют оценить степень рассеивания результатов.

Для исправления результатов наблюдений их складывают с поправками, равными

систематическим погрешностям по величине и обратными им по знаку. Поправку определяют экспериментально при поверке приборов или в результате специальных исследований, обыкновенно с некоторой ограниченной точностью. Для исправления результата наблюдения его складывают только со средним арифметическим значением поправки:

.

Поправки могут задаваться также в виде формул, по которым они вычисляются для

каждого конкретного случая.

Введением поправки устраняется влияние только одной вполне определенной систематической погрешности, поэтому в результаты измерения зачастую приходится вводить очень большое число поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок накапливаются случайные погрешности и дисперсия результата измерения увеличивается.

Действительно, при исправлении неисправленного результата путем введения поправок по формуле

.

Дисперсия становится равной

.

Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока она уменьшает доверительные границы погрешности, т.е. пока выполняется неравенство

.

При малой дисперсии поправки на основании последней формулы может показаться, что введение любой поправки повышает достоверность результата. Однако следует помнить, что погрешность результата выражается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц разряда, следующего за последним десятичным знаком погрешности результата, будет все равно потеряна при округлении, и вводить ее не имеет смысла.

Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие включает в себя ряд элементарных составляющих,

называемых неисключенными остатками систематической погрешности. К их числу относятся:

• погрешности определения поправок;

• погрешности, зависящие от точности измерения влияющих величин, входящих в формулы для определения поправок;

• погрешности, связанные с колебаниями влияющих величин (температуры окружающей среды, напряжения питания и т.д.).

Перечисленные погрешности малы и поправки на них не вводятся. Для каждого данного измерения элементарные составляющие систематической погрешности имеют вполне определенные значения, но эти значения нам неизвестны. Известно лишь, что в массе однотипных измерений эти составляющие имеют определенные средние квадратические отклонения. В этом случае для неисключенных остатков следует принять

нормальное распределение.