20.Структурна середня: медіана для дискретного та інтервального ряду розподілу. Графічний спосіб її визначення.

Структурні середні величини використовують для характеристики структури сукупності за тією чи іншою ознакою.

До структурних середніх належать:

1.Мода.

2.Медіана.

Медіана – це значення ознаки, що лежить всередині впорядкованого за зростанням чи спаданням ряду розподілу.

Випадок 1. Для дискретного ряду розподілу з непарним числом членів медіаною є варіанта з порядковим номером .

Випадок 2. Для дискретного ряду з парним числом членів , тоді медіаною є середня арифметична варіант з номерами і .

Випадок 3. Для інтервального варіаційного ряду розподілу спочатку знаходять медіанний інтервал . Для цього потрібно використати нагромаджені частоти. Медіанному інтервалу перша з нагромаджених частот (абсолютна чи відносна), яка перевищує половину суми всіх частот, → , тоді медіану знаходять за формулою:

Me = + ∙

S_l-1 - нагромаджена частота інтервалів.

Медіану інтервального ряду знаходять графічнийм способом, використовуючи кумуляту.

21.Поняття варіації кількісної ознаки. Абсолютні показники варіації та їх економічний зміст.

Розглянуті раніше середні величини були в певному розумінні характеристиками центру розподілу, однак їх роль при вивченні варіаційних рядів недостатня, оскільки різні статистичні сукупності можуть мати однакові значення середніх величин, але суттєво відрізнятися за характером варіації, який виявляють за допомогою показників варіації.

Класифікація варіацій:

1.Альтернативна варіація – набуває протилежних ознак.

2.Систематична варіація – значення ознаки змінюється у певному напрямку.

3.Випадкова варіація – немає явно вираженої тенденції.

Варіація кількісної ознаки – це відмінність між її значення у різних одиниць сукупності в один і той самий момент або період часу.

Основні показники варіації:

1.Розмах варіації.

2.Середнє лінійне відхилення.

3.Середнє квадратне відхилення /дисперсія.

4.Середнє квадратичне відхилення.

5.Коефіцієнт варіації.

1-4 – абсолютні показники варіації.

Розмах варіації (R) – це діапазон варіації, або різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки.

R = x_max - x_min

Середнє лінійне відхилення – це середня арифметична абсолютних відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини.

d = (проста)

d = (зважена)

Дисперсія / середній квадрат відхилення – це середнє арифметичне квадратів відхилення індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини.

σ² = (проста)

σ² = (зважена)

На практиці для обчислення дисперсії використовують формулу:

σ² = - ( ² (проста), де = , =

Властивості дисперсії:

1.Дисперсія сталої величини дорівнює 0.

σ² (c) = 0, де c=const.

2.Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсію.

σ²(x+c) = σ²(x)

3.Константу можна виносити за знак дисперсії у квадраті.

σ²(c*x) = c² * σ²(x)

4.Дисперсія випадкової змінної є не від’ємною величиною.

σ² 0

Середнє квадратичне відхилення – це квадратний корінь з дисперсії.

σ = (проста)

σ = (зважена)

σ показує на скільки одиниць у середньому кожне індивідуальне значення ознаки відрізняється від її середнього значення.

Зауважимо, що σ завжди більше від середнього лінійного відхилення.

σ ˃ d

Якщо немає даних для обчислення , його обчислюють наближено:

σ 1,25d

σ R / 6 або σ = R / 5

Правило 3σ: в умовах нормального розподілу існує залежність між величиною σ і кількістю спостережень:

1)в межах знаходяться 68,3 % всіх спостережень;

2)в межах знаходяться 94,5 % всіх спостережень;

3)в межах знаходиться 99,7 % всіх спостережень.

Абсолютні показники варіації не завжди зручні до використання, оскільки:

1)варіанти різних рядів визначаються в різних одиницях вимірювання, тому не можна порівнювати абсолютні показники варіації різних рядів;

2)дані показники залежать як від варіації ознаки, так і від абсолютних значень варіант і їх середньої величини.