2. Графічний метод.

Виявлення кореляційного зв’язку полягає у побудові на Декартові площині координат так званого кореляційного поля(сукупності точок (х,у), де х – значення факторної ознаки (абсциса), а у – значення результативної ознаки(ордината)). Кожній одиниці досліджуваної сукупності відповідає одна точка кореляційного поля. За характером розміщення точок роблять висновок про наявність чи відсутність зв’язку. А також про його напрям.

Якщо точки сконцентровані навколо певної лінії, спрямованої напрямку зростання х та у, то маємо прямий зв'язок.

Якщо у напрямку зростання х і спадання у – обернений зв'язок.

Якщо точки розкидані хаотично, без будь-якої тенденції, то це свідчить про відсутність кореляційної залежності між змінними х та у.

3. Метод аналітичних групувань і кореляційних таблиць.

згідно з цим методом, дані статистичного спостереження групуються за факторною ознакою х і для кожної виділеної групи розраховується середнє значення результативної ознаки у, тобто для кожного х_і обчислюється відповідне . Якщо існує зв’язок між х та у, то в зміні середнього значення результативної ознаки буде простежуватись певна закономірність.

Статистичні групування, за допомого яких виявляються взаємозв’язки між ознаками називаються аналітичними. Результати групування часто оформляють у вигляд таблиці розподілу одиниць сукупності за двома ознаками. Такі таблиці називають таблицями взаємної спряженості, які у випадку двох кількісних ознак ще називають кореляційними. Будується кореляційна таблиця за типом «шахової дошки». У її клітинках на перетині відповідних значень х та у записують число n_ij наявність пар (x_i,, y_j). За групованими даними будують також емпіричну лінію регресії, тобто лінію, яка проходить через точки (x_i,, ). У випадку, коли значення факторної ознаки задається інтервалами замість x_i, беруть - середнє значення і-го інтервалу). На основі лінії емпіричної регресії частіше всього передбачають наявність лінійного чи нелінійного (криволінійного) зв’язку.

52. У таких випадках для вивчення зв’язків між двома якісними ознаками будують так звані таблиці комбінаційного розподілу одиниць сукупності (респондентів) за двома досліджуваними ознаками – так звані таблиці взаємної спряженості.

Таблиці взаємної спряженості можуть мати різну розмірність. Найпростішою з таких таблиць є таблиця «чотирьох полів». В ній за кожною ознакою виділяється лише дві групи спостережень, частіше всього за альтернативним принципом («так» - «ні», «добре» - «погано» і т.д.). Висновок про наявність чи відсутність зв’язку потрібно підсилити певним статистичним критерієм, наприклад, критерієм Пірсона .

Він формалізується і з формул:

або .

– емпіричні частоти

– теоретичні частоти

53. Для вимірювання тісноти зв’язку між кількісними показниками можуть використовувати лінійний коефіцієнт кореляції, емпіричне і теоретичне кореляційне відношення, коефіцієнт Фехнера, коефіцієнти кореляції рангів, коефіцієнт конкордації.

Лінійний коефіцієнт кореляції широко використовується для вимірювання тісноти лінійного зв’язку між двома кількісними ознаками х та у. якщо форма зв’язку ще не визначена, то даний коефіцієнт розраховується з метою відповісти на питання, чи можна залежність вважати лінійною.

Найбільш часто вживана формула для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції має вигляд:

Емпіричне кореляційне відношення знаходять за формулою:

– між групова дисперсія результативної ознаки.

- загальна дисперсія результативної ознаки.

Емпіричне кореляційне відношення використовують, як правило, у тому випадку, коли статистичні дані згруповані у кореляційну таблицю.

Теоретичне кореляційне відношення обчислюється за формулою:

Зауважимо, що інколи кореляційне відношення називають індексом кореляції.

54. Коефіцієнт конкордації використовується для вимірювання тісноти зв’язку між ранжованими ознаками (факторними) у тому випадку, коли їх число більше двох.

m – число ранжованих ознак;

n – кількість спостережень;

- сума квадратів відхилень сум m відповідних рангів від середньої величини цих сум;

- ранг і-го значення j-тої ознаки;

- середня величина суми відповідних рангів.

Якщо деякі ранги повторюються, тобто є зв’язаними, то коефіцієнт конкордації розраховується з урахуванням зв’язаних рангів для кожної ознаки:

– число однакових рангів групи ;

- число всіх груп однакових рангів для j-тої ознаки.

Даний коефіцієнт може набувати значень від 0 до 1. Значущість коефіцієнта конкордації при відсутності зв’язаних рангів оцінюється за допомогою критерію

а при наявності зв’язаних рангів – за допомогою критерію

Коефіцієнт Фехнера – елементарна характеристика тісноти зв’язку. Для його обчислення потрібно визначити знаки («+» або «­-») відхилень індивідуальних значень кожної ознаки від своєї середньої величини (тобто знаки( ) і підрахувати число їх збіжностей( ) та незбіжностей( ) для кожного ряду.

Формула для обчислення коефіцієнта Фехнера має вигляд:

Очевидно, що ≤1. Наближення до 1 свідчить про зростання тісноти зв’язку між х та у. Однак при =1 ще не можна стверджувати про наявність функціонального зв’язку між ознаками.

Коефіцієнт Фехнера доцільно використовувати лише для встановлення факту наявності зв’язку при невеликому обсязі вихідної інформації.

55. Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена і Кендела базуються на кореляції не самих значень корелюючих ознак, а їх рангів.

Ранг – це порядковий номер, який присвоюється окремо кожному індивідуальному значенню х та у у ранжованому ряді.

Значення обидвох ознак х та у ранжують(нумерують) у порядку зростання (1;n) або спадання (n;1).

Якщо зустрічаються декілька однакових значень ознаки, то кожному з них присвоюється ранг, рівний частці від ділення суми рангів (місць у ряді), виділених на ці значення на число рівних значень.

Висновок про зв'язок між х та у здійснюють на основі паралельного порівняння рангів обох ознак:

1. Якщо у кожної пари х та у ранги збігаються, то це характеризує максимально тісний прямий зв'язок:

2. Якщо у кожному ряді ранги зростають від 1 до n, а в другому – спадають від n до 1, то характеризує максимально тісний обернений зв'язок :

Коефіцієнт Спірмена обчислюється за формулою:

n-число всіх пар значень х та у (число рангів);

d_i = (N_xi-N_yi) – різниця рангів значень х_і та у_і.

Якщо маємо максимально тісни прямий зв'язок.

Якщо – максимально тісний обернений зв'язок.

Якщо - зв'язок відсутній.

Коефіцієнт кореляції рангів Кендела

Для обчислення спочатку розміщують строго в порядку зростання ранги значень ознаки х, після чого паралельно записують відповідний до рагу N_x ранг N_y. Потім послідовність рангів ознаки у для кожного N_y послідовно визначають число Р наступних рангів, які є більшими від N_y , та число Q наступних рангів, які є меншими від N_y.

Якщо окремі значення ознак х та у не повторюються, то формула для обчислення коефіцієнта кореляції рангів Кендела має вигляд:

S=P-Q

Коефіцієнт також змінюється в межах від (-1) до (+1), при чому , коли ранги N_y збігаються з рангами N_x і коли прямій послідовності рангів N_x відповідає обернена послідовності рангів N_y.

Якщо зустрічаються однакові значення ознаки х (чи) у, тобто ранги повторюються, то коефіцієнт кореляції рангів Кендела обчислюється за формулою:

– число однакових (тих, що повторюються) рангів групи l для х та у;

L – число всіх гру однакових рангів.

56. Для вимірювання тісноти зв’язку між двома якісним ознаками, розподіл одиниць сукупності яких задається таблицями взаємної спряженості, можуть бути використані такі показники, як коефіцієнти взаємної спряженості Пірсона і Чупрова.

Коефіцієнт асоціації формалізується так:

регресії.

Числа a,b,c,d є частотами, у відповідних клітинках таблиці взаємної спряженості.

Коефіцієнт контингенції:

і змінюються в межах від (-1) до (+1).

Коефіцієнь Пірсона та Чупрова

- число одиниць спостережень;

- відповідне число рядків і стовпчиків у таблиці.

Обидва коефіцієнти змінюються в межах від 0 до 1.