Проверка статистических гипотез
Статистиками называются гипотезы, в которых проверяется предположение выдвинутые относительно каких-либо параметров закона распределения или вида закона распределения рассматриваемых СВ.
Но вид закона распределения предполагается одинаковым, различия заключаются в значениях параметров.
Но нулевая гипотеза.
Н1 альтернативная гипотеза
Ошибка, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза называется ошибкой первого рода α.
Ошибка второго рода состоит в том. Что будет принята неправильная нулевая гипотеза β.
1-β мощность критерия (вероятность отклонения неправильной Но).
Принятие или отклонение гипотезы осуществляется на основе определенного критерия, который выбирается в зависимости от решаемой задачи.
Проверка гипотезы на основе выборочного среднего при известной генеральной дисперсии.
Х – нормально распределенная СВ
𝞼2 – известная дисперсия.
Из генеральной
совокупности Х извлечена выборка объемом
n
и вычислено выборочное среднее 
.
Пусть а предполагаемое значение генеральной средней.
Но М[x]=a
Н1М[x]≠a
Вычисляются наблюдаемые значения критерия Фишера при заданном уровне значимости α.
И сравнивают с zтабл функции Лапласа, найденным из:
|zнабл|≤zтабл, гипотеза Но принимается.
|zнабл|>zтабл, гипотеза Но отвергается.
Проверка гипотезы на основе выборочного среднего при неизвестной генеральной дисперсии
-
вычисленное выборочное среднее
S2 – вычисленная выборочная дисперсия.
Но: М[x]=a
Н1: М[x]≠a
И сравнивают с tтабл, которое определяется из таблицы Стьюдента для уровня значимости αи число степеней свободы k=n-1
|tнабл|≤tтабл, гипотеза Но принимается.
|tнабл|>tтабл, гипотеза Но отвергается.
Проверка гипотезы на основе выборочной доли.
Для выборки объемом n вычисляется выборочная доля.
И сравнивают с генеральной долей p.
Но:
Н1:
≠p
И сравнивают с zтабл функции Лапласа, найденным из:
|zнабл|≤zтабл, гипотеза Но принимается.
|zнабл|>zтабл, гипотеза Но отвергается.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.
Х1,Х2 – генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n1 и n2, по которым вычислены выборочные средние 1, 2
Известные генеральные дисперсии 𝞼21𝞼22
Но: М[x1]=М[x2]
а) Н1: М[x1]≠М[x2]
При уровне значимости вычисляются значения:
Сравнивают с zтабл функции Лапласа:
|zнабл|≤zтабл, гипотеза Но принимается.
|zнабл|>zтабл, гипотеза Но отвергается.
б) Н1: М[x1]>М[x2]; (М[x1]<М[x2])
Сравнивают с zтабл функции Лапласа:
|zнабл|≤zтабл, гипотеза Но принимается.
|zнабл|>zтабл, гипотеза Но отвергается.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, но одинаковы.
Х1,Х2 – генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n1 и n2, по которым вычислены выборочные средние 1, 2 и выборочные дисперсии S21и S22
Неизвестные генеральные дисперсии 𝞼21𝞼22
Но: М[x1]=М[x2]
а) Н1: М[x1]≠М[x2]
И сравнивают с tтабл, которое определяется из таблицы Стьюдента для уровня значимости α/2и число степеней свободы k=n1+n2-2
|tнабл|≤tтабл, гипотеза Но принимается.
|tнабл|>tтабл, гипотеза Но отвергается.
б) Н1: М[x1]>М[x2]; (М[x1]<М[x2])
Расчетное значение tнабл вычисляется так же, а наблюдаемое значение определяется для уровня значимости α и числа степеней свободы k=n1+n2-2.
Условия принятия гипотезы те же.
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.
Гипотеза применяется при решении таких задач как сравнение точности или степени разброса какого-либо показателя качества продукции или ТП.
Х1,Х2 – генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n1 и n2, по которым вычислены выборочные средние 1, 2 и выборочные дисперсии S21и S22
Неизвестные генеральные дисперсии 𝞼21𝞼22
Но: 𝞼21=𝞼22
а) Н1: 𝞼21≠𝞼22
Вычисляют расчетное значение критерия Фишера
Причем S21>S22
И определяют табличное значение при уровне значимости α/2 и числа степеней свободы k1=n1-1 и k2=n2-1.
Fнабл ≤Fтабл, гипотеза Но принимается.
Fнабл >Fтабл, гипотеза Но отвергается.
б) Н1: 𝞼21>𝞼22; (𝞼21<𝞼22)
Определяется аналогично, отличие состоит только в уровне значимости, которое для одностороннего случая равняется α
Проверка гипотезы о равенстве нескольких дисперсий по выборкам одинакового объема.
Х1,Х2…Xl – генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n, по которым вычислены выборочные дисперсии S21, S22… S2l
Неизвестные генеральные дисперсии 𝞼21 𝞼22
Но: 𝞼21 =𝞼22=…=𝞼2l
Н1: 𝞼21≠𝞼22≠…≠ 𝞼2l
Вычисляют расчетное значение критерия Кохрена:
И определяют табличное значение при уровне значимости α и числа степеней свободы k=n-1и количеству выборок l.
Gнабл ≤ Gтабл, гипотеза Но принимается.
Gнабл >Gтабл, гипотеза Но отвергается.