3Получение передаточных функций расчетной схемы
Рассчитаем значение шага дискретизации по времени T0 по методу аналогового прототипа
, (3.1)
где ср – частота среза системы-прототипа;
зап – запас по фазе системы прототипа.
Рассчитаем частоту среза и запас по фазе системы прототипа численно с помощью средств Mathcad, для чего понадобится передаточная функция (1.3).
Подставляя рассчитанные значения в (3.1), получим
.
Примем шаг дискретизации равным
.
Передаточная функция фиксатора имеет следующий вид
.
Получим z-изображение дискретного корректирующего устройства, представленного на схеме рисунка 2.2 как ПНЧ 1, воспользовавшись таблицей z-изображений [1]
Подставляя значение шага дискретизации, и приводя к общему знаменателю, получаем
(3.2)
Проводя аналогичные рассуждения для ПНЧ 2, получим следующее z-изображение
Таким образом z-изображение для ПНЧ 2
. (3.3)
Выполнив подстановку
,
получим u-изображения. Конечные результаты представлены для (3.2) и (3.3) соответственно в (3.4) и (3.5)
(3.4)
(3.5)
4Исследование устойчивости замкнутой системы
Для структурной схемы рисунка 2.2 запишем передаточные функции разомкнутой системы в форме z-изображения и u-изображения.
Для получения z-изображения передаточной функции разомкнутой системы достаточно перемножить (3.2) и (3.3)
. (4.1)
Для получения u-изображения разомкнутой системы достаточно перемножить (3.4) и (3.5)
. (4.2)
Воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица для анализа устойчивости замкнутой системы, для чего по u-изображению (4.2) составим характеристическое уравнение замкнутой системы
Выпишем числитель характеристического уравнения
.
Необходимый критерий устойчивости соблюдается, так как коэффициенты полиномиального уравнения строго положительные, тогда критерий Гурвица для системы 3-го порядка запишется
Так как последнее неравенство верно, то замкнутая система устойчива.
Воспользуемся дискретным вариантом критерия Михайлова, для чего запишем характеристический полином замкнутой системы через передаточную функцию (4.1) и сделаем подстановку [2].
На рисунке 4.1 показан годограф Михайлова в двух масштабах.
Рисунок 4.1 Годограф Михайлова на z-плоскости в разных масштабах
Для устойчивости системы [2, стр. 53] необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при возрастании от 0 до /T0 обходил последовательно в положительном направлении 2n квадрантов комплексной плоскости.
Так как наша система имеет 3-ий порядок, то годограф должен пройти последовательно 6 квадрантов. Нетрудно заметить, что годограф Михайлова на рисунке 4.1 действительно проходит 6 квадрантов не пересекая начала координат, что говорит об устойчивости замкнутой системы.
5Исследование корректирующего устройства
5.1 Описание звена в виде разностных уравнений
За основу следует взять передаточную функцию (3.2)
Заменив переменную z оператором прямого сдвига и выполнив соответствующие преобразования, перейдем к первой форме разностных уравнений
Так как в реальных системах невозможно предугадать последующее значение, то последнее разностное уравнение применить невозможно. В этом случае используют разностное уравнение второй формы, переход к которой возможен через связь оператора прямого сдвига с обратным
. (5.1)
Наконец, запишем разностное уравнение в форме обратных разностей воспользовавшись следующей связью
Нетрудно заметить, что мы снова пришли ко второй форме разностных уравнений.