Ответы к 5.9

1. а) x=x₁; y=-y₁;

б) x=y₁; y=x₁;

2. Перенести начало координат в точку О₁(3,-3).

3. Окружность.

4. Отрезок длины 2а.

5. у= х, они взаимно перпендикулярны.

6. Да, зависит. Чем это величина меньше, тем меньше угол между асимптотами и тем более сжата сама гипербола, чем больше величина , тем круче располагаются ветви гиперболы.

7. Указание. Нового положения эллипса относительно осей можно достигнуть при неподвижном эллипсе параллельным перемещением осей координат с переносом начала в точку (-х₁, -у₁)

8. а) А=0 и В=0;

б) С=0 и В=0.

6. Плоскость и прямая в пространстве

6.1. Общее уравнение плоскости

Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x₀,y₀,z₀) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис.6.1)

Возьмём на плоскости  любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и .

  ( , ) = 0 (6.1.1)

Запишем уравнение (6.1.1) в координатной форме.

(x₀-x, y₀-y, z-z₀), (A, B, C)

( , ) = A(x-x₀) + B(y₀-y) + C(z-z₀)

Преобразуя последнее выражение, получим Ax+By+Cz+D=0 (6.1.2)

Где D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Уравнение (6.1.2) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Рассмотрим, в чём заключаются особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

1. A=0. В этом случае вектор N=Bj+Ck; он компланарен ортам j и k, т.е. параллелен плоскости Oyz, поэтому соответствующая плоскость будет параллельна оси Ox.

Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy, если С = 0, то плоскость параллельна оси Oz.

2. D=0. Плоскость проходит через начало координат.

3. A=0, B=0  плоскость параллельна плоскости Oxy (перпендикулярна оси Oz); уравнение такой плоскости приводится к виду z = c.

Аналогично, если A=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Oy; если B=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Ox. Уравнения таких плоскостей приводится соответственно к виду y = b; x = a.

4. A=D=0. Плоскость проходит через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox(A=0) и проходит через начало координат (D=0).

Аналогично, если B=D=0, то плоскость проходит через ось Oy. Если C=D=0, то плоскость проходит через ось Oz.

5. A=B=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxy, её уравнение z = 0.

A=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxz, её уравнение z = 0.

B=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, её уравнение x = 0.

6.2. Уравнение в отрезках

Пусть в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 , A0 , B0 , C0 , D0,

т.е. плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

Преобразуем уравнение следующим образом: Ax + By + Cz = -D

x/(-D/A) + y(-D/B) + z(-D/C) = 1, обозначив a = (-D/A); b = (-D/B); c = (-D/C), будем иметь x/a+y/b+c/z=1 (6.2.1)

Уравнение (6.2.1) называется уравнением плоскости в отрезках.

6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости

Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость  (рис. 6.2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра.

Рис. 6.2

Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде = ; оба способа равнозначны, поскольку =x + y + z .

При любом положении точки М на плоскости  проекция её радиуса вектора на направление вектора всегда равна p: (6.3.1)

Но это равенство можно записать используя скалярное произведение.

= (r,n) - p = 0 (6.3.2)

Это векторное уравнение плоскости .

От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению.

Обозначим через , ,  углы образованные единичным вектором с ортами , , . Тогда cos, cos и cos будут координатами этого вектора:

= cos + cos + cos (6.3.3)

Кроме того, известно, что = x + y + z (6.3.4)

Используя формулы (6.3.3) и (6.3.4) выразим ( - ) - p = 0 в координатной форме:

( , ) - p = x cos + y cos + z cos – p = 0 (6.3.5)

Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости : Ax + By + Cz + D = 0 (6.1.2)

Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?

Так как уравнения (6.3.5) и (6.1.2) определяют одну и ту же плоскость , то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.

(6.3.7)

при некотором , из равенств (6.3.7) определяем : = (6.3.8)

Знак  определяем для случая D0 из четвёртого равенства (6.3.7); так как p>0, то D<0 и, следовательно,  имеет знак, противоположный знаку D.

Определение: Число , имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (6.1.2). При D=0 можно знак  выбрать произвольно.

Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (6.1.2) получить нормальное уравнение плоскости (6.3.5), надо обе части уравнения (6.1.2) помножить на нормирующий множитель этого уравнения.