23

Практическое занятие №3

Тема: Частотные характеристики элементов систем управления. Логарифмические частотные характеристики.

Цель: Получение практических навыков определения частотных характеристик элементов систем управления.

1. Исходные теоретические сведения

Преобразование Фурье. Преобразование Фурье – другой пример интегрального преобразования функции , также играющего важную роль в теории управления. Вначале рассмотрим исходные положения преобразования Фурье.

Если функция определена на интервале и имеет непрерывно-кусочную производную, то ее можно представить суммой членов ряда Фурье, который в комплексной форме имеет вид

,

(сумма членов ряда Фурье в точках разрыва ) равна полусумме предельных значений ее слева и справа от точки разрыва), где

.

В случае произвольного интервала записанные выше формулы имеют вид

,

где

.

Каждая из функций – периодическая с периодом , поэтому

сумма есть периодическая функция с периодом .

Физически разложение в ряд Фурье есть представление периодического процесса суммой гармонических колебаний. Выражение для k-й гармоники имеет вид

,

где .

Поскольку , то .

Последовательность комплексных чисел называется амплитудным спектром, а последовательность – фазовым спектром . В терминологии операционного исчисления есть оригинал, а ее спектральная последовательность – ее изображение.

Рассмотрим пример. Дано линейное дифференциальное уравнение

, (1)

где и – постоянные, а – периодическая с периодом . Пусть необходимо найти частное решение этого уравнения в виде периодической функции того же периода.

Если спектральная последовательность для известна, то

.

Если правая часть линейного дифференциального уравнения есть сумма нескольких функций, то частное решение такого уравнения можно искать в виде суммы частных решений уравнений с той же левой частью, но с правыми частями, равными отдельным слагаемым правой части данного уравнения, так что частное решение для нужно искать как частное решение уравнения

,

имеющее вид . Продифференцировав дважды это частное решение и подставив его в последнее уравнение, получим

,

откуда

,

.

Комплексные числа представляют спектральную последовательность искомого частного решения. Другими словами, частное решение может быть представлено в виде

.

Если – непериодическая (задана на всем интервале {0, t}), несобственный интеграл от абсолютной величины которой

сходится, то ее можно представить интегралом Фурье

,

где

(2)

есть спектральная функция (преобразование Фурье) . Ее модуль называется амплитудным спектром (амплитудной характеристикой), а – фазовым спектром. При этом по аналогии с рядом Фурье

.

Из (**) следует, что , т.е. и, следовательно, амплитудный спектр есть четная функция. С дугой стороны, поскольку

,

то фазовый спектр есть нечетная функция.

Говорят, что периодическая функция имеет дискретный спектр (ей соответствует спектральная последовательность), а непериодическая – непрерывный спектр (ей соответствует спектральная функция). Это различие физически означает, что непериодический процесс уже нельзя представить набором колебаний определенных изолированных частот, для его построения необходимы колебания всех частот.

Рассматривая снова уравнение (1) и считая непериодической функцией, получим, что частное решение уравнения

имеет вид

,

где

есть спектральная функция частного решения уравнения (1)

.

Полагая в (2) при и (т.е. – чисто мнимая), видим, что выражение (2) совпадает с выражением интеграла Лапласа. Отличием между ними является условие существования преобразований: преобразование Лапласа применяется для функций, удовлетворяющих условию

, (3)

а одностороннее преобразование Фурье требует сходимости интеграла

,

что накладывает на более жесткие ограничения, чем ограничение скорости ее роста. Условием существования для функции преобразований Лапласа и Фурье одновременно является справедливость для нее в (3) отношения .

Между преобразованиями Лапласа и Фурье существует еще одно важное соотношение, называемое формулой Парсеваля, имеющее вид

для периодических функций, и

для преобразование Фурье.

В заключение отметим, что важность преобразования Фурье заключается в его физичности, преобразование же Лапласа оказывается более удобным из-за возможности использования теории аналитических функций комплексной переменной.

Использования преобразования Фурье в теории управления. При рассмотрении систем, при подаче на вход гармонических колебаний, важную роль играют частотные характеристики. Их роль особенно заметна при: исследовании устойчивости, а также при синтезе корректирующих устройств (регуляторов). Принимая во внимание определение передаточной функции и, заменив параметр p на частоту j, т.е. приняв p = j, запишем:

Обозначим , , .

Тогда

Теперь можно записать

. (4)

Если

то

,

.

Дадим некоторые определения. Комплекснозначная функция W(j) называется комплексной частотной характеристикой системы (комплексным коэффициентом передачи) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Графическое изображение амплитудно-фазовой частотной характеристики на комплексной плоскости называется годографом.

Функции Р() и Q() называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.

Функции R() и (), определяемые зависимостями (4) называются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками Они показаны на рис. 2.

Рис. 2. Амплитудная и фазовая частотные характеристики системы

Частотные характеристики характеризуются следующими показателями:

– показатель колебательности М = А_mах()/А(0) (характеризует склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна система; как правило, в реальных системах 1,5  М  1,1);

– резонансная частота _р (частота, при которой АЧХ имеет максимум; на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

– полоса пропускания системы (интервал от  = 0 до ₀, на котором выполняется условие

– частота среза _ср – частота, на которой амплитудная частотная характеристика системы принимает значение, равное R(0), т.е.

(на рис. 2 условно принято R(0) = 1).

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение:

(5)

Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

Если же полоса пропускания является постоянной для всех частот на (–, +) и, следовательно, _ср =  , то система является безынерционной, у которой T_у = 0. Этот вывод следует из формулы (5). Поскольку система с бесконечной полосой пропускания безынерционна, то входные сигналы отрабатываются ею без искажения.

Сформулируем закон преобразования гармонических сигналов линейными системами. если на вход системы подается косинусоидальный сигнал с амплитудой y₀, то на выходе в установившемся режиме имеет место также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой. Амплитуда выхода равна

x₀ = y₀A(₀),

а сигнал имеет сдвиг фазы  (₀).

Полученный факт используют для экспериментального определения R() и (). Для определения одной точки R(₀) и (₀) на вход системы надо подать гармоническое воздействие

имеющее конкретную угловую частоту ₀.

В результате в системе возникнет переходный процесс (имеет место составляющая х_п(t) и установившиеся колебания с частотой ₀. После затухания переходного процесса (т.е. в установившемся режиме), если система устойчива, то x_n(t)0 (t), на выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой ₀, равной частоте воздействия, но отличающиеся по амплитуде и фазе. Одна точка амплитудной частотной характеристики R(₀) определяется зависимостью

а (₀) – как сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входу. Аналогично можно построить все точки амплитудной частотной характеристики и фазовой частотной характеристики (рис. 3).

Рис. 3. Экспериментальное определение частотных характеристик динамической системы (динамического звена): а - система или звено; б - процессы на входе и выходе.

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой системы называется график функции L () вида:

где

Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота [l/c] в логарифмическом масштабе (рис. 2.14). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз (рис. 2.14).

Частота _ср, на которой L() пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза. Поскольку lg 1 = 0, то начало координат чаще всего берется в точке  = 1 (исключаем точку  = 0, т.к. lg = – ). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, например:  = 0,05,  = 0,1, =1,  = 10 или другие), исключая точку  = 0.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой называется график зависимости () = Arg W(j).

Рис. 4. Логарифмические частотные характеристики

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет углов () идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота  в логарифмическом масштабе.

Важно иметь в виду, что ось абсцисс соответствует значению R = 1, т.е. прохождению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя полуплоскость логарифмической амплитудной частотной характеристики соответствует значениям R > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям r < 1 (ослабление амплитуды).

Частотные характеристики типовых звеньев. Типовые звенья систем управления, перечисленные в материалах предыдущего занятия, имеют свои типовые (будем называть их так) частотные характеристики, Они приведены в табл. 1 – 9 и могут быть использованы для определения частотных характеристик систем управления, построенных на их основе.

Таблица 1