Прогнозирование с использованием регрессионной зависимости
На практике чаще всего известны не только значения прогнозируемой величины для объектов аналогичных объекту прогнозирования или сама эта величина в прошлом, но и другие величины, влияющие на прогнозируемую или изменяющиеся совместно с ней. В этом случае говорят о наличии связи между этими величинами и использование знаний об этой связи, позволяет значительно повысить точность по сравнению с прогнозированием по выборке.
Рассмотрим простейший случай парной зависимости, когда есть прогнозируемая величина и лишь одна величина на нее влияющая.
Будем обозначать искомую прогнозируемую величину через У и называть зависимость переменной, а влияющие на нее переменную через Х и называть независимой переменной.
Связь
между зависимой и независимой переменными
может быть функциональная, в этом случае
каждому значению независимой переменной
соответствует одно определенное значение
зависимой переменной, графически такая
связь выражается линией на графике.
Второй вид связи – вероятностная
(стохастическая) связь, в этом случае
одному значению независимой переменной
соответствует несколько значений
зависимой переменной. Графически
вероятностная связь может быть
представлена как некое облако точек
(рис.4). Причем частота появления различных
значений переменной Y при одном и том
же значении 
подчиняется
какому-то закону, т.е. имеет определенный
тип распределения, одинаковый во всем
диапазоне значений независимой
переменной.
Рис.4. Функциональная (а) вероятностная (б) связь переменных.
Для
описания вероятностной связи переменных
используются уравнение регрессии. В
идеологии регрессионного анализа лежит
представление о всех возможных значениях
переменных Х и У как о случайных
отклонениях от их средних значений 
и 
.
Регрессионное уравнение устанавливает
связь между отклонениями зависимой и
независимой переменных от своих средних
значений. Следует особо отметить, что
в регрессионном анализе речь идет именно
о связи (определенной степени совместности
изменения) Y и X, а не зависимости Y от X.
Иными словами регрессионный анализ не
устанавливает факт влияния X на Y,
фактически это может быть и противоположное
влияние – Y влияет на X, или обе переменные
Y и X зависят от третьей или третьих
переменных. Во всех этих случаях будет
наблюдаться некоторая согласованность
изменения значений X и Y, и эту согласованность
можно установить с помощью уравнения
регрессии.
Наиболее часто на практике для описания связи между X и Y применяется линейный закон. Соответственно говорят о парной линейной регрессионной зависимости, с ее помощью взаимосвязь между зависимой и независимой переменными описывается следующим образом:
где:
, 
- коэффициенты регрессионного
уравнения;
-
остаточный член.
Таким
образом, случайная величина Y представляется
состоящей из двух частей: теоретического
значения, которое можно рассчитать по
известному значению X с использованием
формулы 
;
и остаточного члена который представляет собой случайную составляющую которую предсказать невозможно и благодаря которой связь между зависимой и независимой переменными носит вероятностный характер.
Среди причин появления случайной составляющей могут быть следующие:
- отсутствие в уравнении регрессии других независимых переменных влияющих на зависимую переменную и не включенных в уравнение вследствие их незнания или отсутствия возможности надежного измерения;
- агрегирование зависимой переменной из нескольких однородных, но все-таки отличающихся друг от друга переменных (прибыль по предприятию представляет собой сумму прибыли по отдельным продуктам производимым этим предприятием, а это схожие, но все-таки разные экономические категории);
- несоответствие избранной теоретической зависимости между зависимой и независимой переменной фактической зависимости;
- ошибки измерения как зависимой, так и независимой переменных.
Во всех этих случаях возникают ошибки, которые приводят к возникновению случайной составляющей.
Общая
схема прогнозирования с использованием
регрессионной зависимости выглядит
следующим образом. По имеющемуся
набору 
пар
значений 
и
необходимо
найти параметры уравнения регрессии,
а затем с помощью полученного уравнения
и нового значения независимой переменной 
,
рассчитать прогнозное значение зависимой
переменной 
.
Поскольку при этом случайную составляющую
предсказать не удается, то дополнительно
необходимо оценить точность полученного
прогноза.