Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
logika-l_2.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
04.11.2018
Размер:
194.05 Кб
Скачать

Тема 2. Элементы логики высказываний.

Логика высказываний. Операции над высказываниями. Формулы логики высказываний.

§1. Высказывания и операции над ними.

Определение 1: Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно точно сказать, истинное оно или ложное.

Пример 1: Высказываниями являются следующие предложения:

А1= “

А2= “

А3= “Минск – столица Беларуси”

А4= “Неман впадает в Черное море”

А5= “2+3=5”

А6= “Каждая дифференцируемая на функция ограничена на нем”.

Пример 2: Высказываниями не являются следующие предложения:

«Сегодня хорошая погода»

“Студент матфака”

Операции над высказываниями

Название «логика высказываний» говорит само за себя: предметом изучения в теории являются высказывания. Допустим, что имеются первоначальные (элементарные) высказывания, о которых нам известно, истинны они или ложны.

? Какие новые высказывания можно с их помощью построить?

? Как следует определять их истинность?

Вот тут-то мы сразу и облегчим себе задачу, отвечая на поставленные вопросы.

Точно так же, как поступают в алгебре, рассуждая о числах, то есть вводят символы а, b, c, ... и подразумевают под каждым из них любое число, поступим теперь и мы: введём символы А, В, С,..., P, Q, R,..., X, Y, Z, означающие любое элементарное высказывание. Теперь их можно трактовать как переменные, принимающие только два значения: "истинно" и "ложно"; их мы тоже обозначим кратко: И и Л.

Исходя из разговорной практики, мы знаем, что, имея высказывания А и В, можно ещё построить высказывания:

не А (неверно, что А)

А и В

А или В

если А, то В (из А следует В)

А только и только тогда, когда В (А эквивалентно В, А тождественно В)

Эти высказывания, в отличие от элементарных, естественно назвать сложными, поскольку они уже наделены структурой. Однако они так же, как и простые, могут принимать только два возможных значения: И либо Л.

Средства, которые мы применили, называются логическими связками, поскольку сложные высказывания представляют собой некоторые логические рассуждения, связывающие элементарные высказывания друг с другом. Почему бы и логические связки не обозначить для краткости специальными символами? И в логике высказываний были введены подобные обозначения и определения:

Определение 2: Отрицанием высказывания называется высказывание “не ”, которое обозначается (или ) и является истинным тогда и только тогда, когда ложно.

1

0

0

1

Такая таблица называется таблицей истинности связки. Она отражает все ситуации влияния значений элементарной переменной на значение сложного высказывания.

Определение 3: Конъюнкцией двух высказываний и называется высказывание « и », которое обозначается и является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Пример 3: 1) «6 делится на 3» и «10 больше 5» - И

2) «6 делится на 3» и «7 больше 10» - Л

3) «Число 10 четное и делится на пять» - И

Определение 4: Дизъюнкцией двух высказываний и называется высказывание « или », которое обозначается и является ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Пример 4: 1) «Число 3 корень или корень » - И

2) «Неман впадает в Черное или Азовское море» - Л

Определение 5: Импликацией двух высказываний и называется высказывание «если , то », которое обозначается и является ложным тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Пример 5: 1) «» - И

2) «» - И

3) «» - Л

Определение 6: Эквивалентностью двух высказываний и называется высказывание « тогда и только тогда когда », которое обозначается и является истинным тогда и только тогда, когда и одновременно истинны или одновременно ложны.

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Операция

Название операции

Краткое прочтение полученного высказывания

Полное прочтение полученного высказывания

¬A

отрицание

не А.

неверно, что А.

A  B

конъюнкция

A и B.

верно, что A, и верно, что B.

A  B

дизъюнкция

A или B.

верно, что A, или верно, что B.

A  B

импликация A называется условием, а B - следствием

если A, то B. A влечёт B.

если верно, что A, то верно, что B.

A  B

эквивалентность

A тогда и только тогда, когда B. A эквивалентно B.

верно, что A, тогда и только тогда, когда верно, что B.

Пример 6: «164 делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра четная» - И

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]