Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3 семестр экзамен / Algebra_3_razdel

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
806.96 Кб
Скачать

Билет 3.1. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

 

 

Билет 3.1. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

Неравенство Коши - Буняковского. Линейные нормированные пространства.

 

 

Неравенство Коши - Буняковского. Линейные нормированные пространства.

Неравенство треугольника. Неравенства Коши - Буняковкского и треугольника в

Неравенство треугольника. Неравенства Коши - Буняковкского и треугольника в

различных пространствах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

различных пространствах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1.1 Пусть - вещественное или комплексное ЛП. Отображение

Определение 1.2 Линейное комплексное пространство называется линейным

,

× → ( или ) называется скалярным произведением, если

 

 

нормированным пространством, если для ставится в соответствие

, , , α :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вещественное число

 

 

 

, называемое нормой указанного элемента, при этом

1) ,

= , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

норма удовлетворяет следующим аксиомам: , , α :

2)

α, = α , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

≥ 0,

 

= 0 = ; 2)

 

α

=

 

 

 

α

 

 

- однородность нормы;

3)

+ ,

 

=

 

,

+ , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

+

 

+

 

 

 

– неравенство треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

,

≥ 0, , = 0 = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры:1) = 3:

=

 

 

 

- длина . 2)

= [ , ]:

 

= max[ . ]

Число

, называется скалярным произведением; 1) – 4) – аксиомами

 

Теорема 1.2 Всякое унитарное пространство является нормированным, если

скалярного произведения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в нем определить норму:

 

 

 

=

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вещественное ЛП со скалярным произведением называется евклидовым

 

■1)

 

 

≥ 0 (аксиома 4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространством: ; комплексное ЛП со скалярным произведением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) α = α, α = αα , = α

 

 

 

 

 

, = α ,

 

 

 

 

 

называется унитарным пространством: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

+

=

 

 

+ , +

=

 

 

 

 

,

 

+

 

, +

, +

 

, =

1) = 3:

,

 

 

 

 

cos α.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

+ 2 Re ,

+

,

 

 

 

 

,

+ 2

 

,

 

+

,

(неравенство

2) = : ,

 

 

 

= ; = : ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коши Буняковского)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) =

 

: ,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

[ , ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие свойства скалярного произведения:

 

 

 

 

 

 

 

,

+ 2

 

,

 

 

,

 

+

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

,

 

 

+

,

 

 

 

= + . ■

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

2

1) , , : , + =

, + , ;

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1)

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(неравенство Коши – Буняковского).

2) , , α :

, α = α , ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Введем функцию ρ , =

 

 

 

– расстояние между и :

3) : ,

 

= , = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ρ , ≥ 0, ρ , = 0 = ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

,

= 0,

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) ρ , = ρ , , 3) ρ , ≤ ρ , + ρ , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) = 0 ∙ ,

 

, = , 0 ∙

= 0 ∙ , = 0 ∙ , = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.3 Неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ .

4) «» 3 « » ,

= 0, =

 

 

,

= 0 = . ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− =

 

 

− + −

 

 

 

≤ − + − = + ;

Теорема 1.1 (неравенство Коши – Буняковского) Для ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − + ≤ − + − ≤ − ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , )

 

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

( , )

2

 

≤ , ( , ) или

 

 

≥ 0.

 

 

 

 

 

 

≤ − + − − ≤ − . ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , )

 

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 3) В евклидовом пространстве углом между ненулевыми

■ Пусть ≠ , α :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторами и называется угол 0 ≤ φ ≤ π , для которого

cos φ =

,

0 ≤ α − , α −

= α, α − α,

 

 

− , α

+

,

= α 2 ,

 

 

.

 

 

 

 

α ,

− α ,

+

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры (неравенства Коши – Буняковского и треугольника)

Т.к.

 

,

≠ 0 , пусть α =

,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) :

, =

 

 

 

 

1

 

 

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2 2

 

 

 

 

 

 

2 +

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда 0 ≤

 

 

 

 

,

 

 

, −

 

 

 

,

+

,

=

 

,

2

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

2

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2) , :

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , − ,

2 + , ( , ) =

 

 

, , − , 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , ) 2 ≤ , ( , ). ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ( ) 2

2

 

 

 

 

2( )

2

 

+

 

 

 

2( )

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.2. Общий вид скалярного произведения в евклидовом и унитарном

 

Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование

пространствах. Матрица Грама.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть = , … ,

 

 

– базис в

, dim

 

= .

 

 

 

 

 

 

Определение 3.1 Элементы ,

называются ортогональными ,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, : =

 

 

 

, =

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

если их скалярное произведение равно нулю: , :

,

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

Замечание 1. Нулевой элемент , и только нулевой, ортогонален любому

 

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектору пространства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим: ,

=

 

 

,

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

,

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 3.2 Система векторов унитарного пространства называется

Рассмотрим матрицу = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, = δ

=

1, =

 

 

 

 

Определение 2.1 Матрица =

 

 

 

называется матрицей Грама

 

ортонормированной (ОНС), если

(символ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, ≠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кронекера).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы векторов , … , :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.1 Ортогональная система ненулевых векторов 1, … , - линейно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

независима.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= , … ,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть 1, … , ортогональная система. Достаточно доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равенство α1 1

+ + α = достигается только при

α1 = α2 = =

Запись

 

,

=

 

 

 

 

 

 

 

= называется общим видом скалярного

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0. Умножим скалярно на : α ,

= 0

α = 0, т.к.

.

произведения в унитарном пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1) Т.к.

 

 

=

 

 

– эрмитова матрица.

 

 

 

Следствие 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 2. В - мерном пространстве любая ОНС из векторов образует

2)

 

- евклидово пространство:

 

=

 

 

- симметричная матрица и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

= - общий вид скалярного произведения в евклидовом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.2 В евклидовом (унитарном) пространстве координаты , … ,

пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора в базисе =

 

, … ,

вычисляются по правилу

=

,

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1 Пусть =

 

 

, … ,

 

и =

 

, … ,

 

базисы в , =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, тогда и только тогда,

когда =

, … ,

- ортонормированный базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Тогда

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » Пусть =

,

, = 1, . Тогда = 0 ∙

+ + 1 ∙ + + 0 ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= , =

 

 

 

,

 

 

 

 

=

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1, = .

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

=1

=1

 

 

 

- тоже вычисляются по этому же правилу. Следовательно,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= . ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, ≠

=1

=1

 

 

 

 

 

=1

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » Пусть = , … ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ОНБ, следовательно, из линейности скалярного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произведения

=

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.3 В унитарном пространстве скалярное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

и =

 

 

вычисляется по правилу

,

=

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и только тогда, когда =

, … ,

- ОНБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » ,

=

= 1, = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, ≠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » В силу линейности скалярного произведения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2. В евклидовом пространстве

,

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование

Билет 3.4. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении унитарного

ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства в виде прямой суммы линейных подпространств.

 

 

Теорема 4.1 (Шмидта об ортогонализации) Пусть в унитарном

 

 

Определение 5.1 Пусть

– линейное подпространство унитарного

пространстве

(dim

= ) задан произвольный базис =

 

, … , .

(евклидова) пространства:

. Вектор называется ортогональным к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

подпространству ,

если он ортогонален :

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в существует ОНБ

= , … ,

, который можно построить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следующим образом: =

 

, = 1, , где = −

,

 

 

 

− −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

−1

 

 

1, 2, … ,

= 1, : .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 5.2 Подпространства 1

и 2 называются ортогональными

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение ОНБ методом математической индукции.

 

 

 

 

 

 

 

1 2 : 1, 2 , = 0 .

 

 

 

 

 

 

= 1, 1

=

1

,

1

≠ 0, т.к. система линейно независима.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 5.3 Совокупность всех векторов , ортогональных

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подпространству , называется ортогональным дополнением к до

Пусть в унитарном пространстве

, размерности , существует ОНБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства и обозначается :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … ,

и =

 

, = 1, ,

= −

,

 

 

 

− − ,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

−1

 

 

 

 

 

 

1 1

 

=

: , = 0, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что в унитарном пространстве размерности + 1 существует

Теорема 5.1 Ортогональное дополнение является линейным

 

ОНБ. Пусть , … , ,

- произвольный базис

 

 

 

. , … ,

– линейная

подпространством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оболочка , … , - есть унитарное –мерное пространство. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2, ; α, β : α1 + β2, = α 1, + β 2, = 0 α1 +

по предположению индукции в нем существует ОНБ , … , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

β2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

удовлетворяющий условиям теоремы. Рассмотрим вектор

 

 

 

=

+

Теорема 5.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

+1

 

∩ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

+ α

- линейная комбинация , … , ,

 

 

. Т.к. , … , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

= 0

 

 

= .

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+1

 

Пусть

 

,

 

 

линейно независимы, ,

 

 

. Числа α , … , α

 

 

подберем так, чтобы

Теорема 5.3 Унитарное пространство есть прямая сумма любого своего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, = 1, . Умножим

 

на , = 1, :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,т.е. =

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подпространства и его ортогонального дополнения

 

 

 

 

0 =

 

 

, =

 

 

, + α α = −

 

 

,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

+1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

, − −

 

 

,

 

 

 

 

Пусть , dim = . Если

= 0 - тривиальное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

+1

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

Положим

=

 

. Следовательно,

, … , ,

 

 

образуют базис в

подпространство. , , … , – ОНБ в . Дополним его до базиса (по

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

, … , . Ортонормируем систем

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теореме о неполном базисе): , , … , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(теорема Шмидта) получим ОНБ в : , … , ,

 

, … , . Покажем, что

Следствие. Во всяком –мерном пространстве существует ОНБ.

 

 

 

 

 

 

, … ,

 

 

= = .

 

 

 

 

1

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … ,

=

 

+ + ; = 1, : , = 0, т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

+1

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … , ,

 

, … ,

– ОНБ в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно:

 

 

= + +

+

 

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

+1 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где

=

 

,

 

 

 

= 0, = 1,

 

 

 

, … , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. dim

 

 

 

, … ,

 

= dim = −

dim = dim + dim =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.5. Линейная форма в линейном пространстве. Сопряженное пространство и

Билет 3.6. Представление полуторалинейной (билинейной) формы в унитарном

 

его размерность. Биортогональный базис. Представление линейной формы в

(евклидовом) пространстве с помощью линейного оператора

 

 

 

 

 

 

евклидовом (унитарном) пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.1 - унитарное пространство. Для любой линейной формы

- унитарное пространство.

, - пространство линейных операторов из

:

в унитарном пространстве существует, и притом единственный,

в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор такой, что

=

, , .

 

 

 

Теорема 7.1 Для любой ,

полуторалинейной (билинейной) формы

 

Пусть =

 

, … ,

 

- ОНБ в , α , … , α - коэффициенты линейной

,

,

в унитарном

 

(евклидовом) пространстве существует

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

формы в базисе , т.е.

= α , = 1, .

 

 

 

 

единственный линейный оператор ,

 

 

,

 

такой, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

( ) =

 

 

α .

 

 

 

,

=

, , , , причем матрица

 

 

полуторалинейной

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

=1

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим =

 

α , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формы , (билинейной формы , ) и матрица

оператора в

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

,

 

 

α

=

 

α ,

=

 

α .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произвольном ОНБ связаны соотношением:

 

=

 

 

 

=

 

 

= .

 

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

Следовательно, - удовлетворяет условию

,

= ( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство проведем для полуторалинейной формы.

 

 

 

 

Докажем единственность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Возьмем и зафиксируем . Тогда ,

 

- линейная форма

 

 

Пусть 1: =

, 1

=

,

 

, − 1

= 0, , − 1

 

 

 

аргумента . Следовательно,

 

! : ,

 

= ( , ). Таким образом

 

1 = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

построили отображение: ! . Следовательно, задали

 

=

,

- пространство, сопряженное к .

 

 

 

оператор = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В определим функционалы

. Их достаточно определить на базисных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что построенный оператор линеен. 1, 2

, α, β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторах: = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 1 = 1, 2 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, α

+ β

= , α

+ β

= α ,

 

 

+ β ,

= α ,

+

 

 

 

 

0, ≠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β , 2

=

, α1

+ β2

=

, α1 + β2

, α1 + β2

=

Покажем, что

, = 1, образуют базис в .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1 + β2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) = 1, их = dim .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Докажем линейную независимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Докажем единственность. Пусть 1, 2: , =

, 1 =

 

 

β + + β

 

 

= - нулевой функционал:

β + +

, 2

, 1 2

= 0, 1 2 = 1 =

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

2 , 1 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) ,

= =

,

= в ОНБ =

 

= = , ,

Положим =

β

 

= β

 

= 0, = 1, линейно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

независимы образуют базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 6.1

, … ,

называется биортогональным базисом к базису

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного

 

 

 

Билет 3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного

 

 

 

 

 

оператора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1.1 Оператор , действующий в унитарном пространстве ,

Теорема 1.4 (Матрица сопряженного оператора в ОНБ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

сопряженным

к линейному

оператору

, ,

если

Пусть

 

=

 

 

 

, … ,

 

 

 

 

-

 

ОНБ

в ,

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

.

Тогда

, =

, , ,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

,

 

т.е.

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 3, =

, , 3 - фиксирован.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= , − , , , =

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

, :

,

 

 

=

, .

 

 

, =

, ,

=

,

,

 

=

, − ,

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

=

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.1

Для любого линейного оператора , существует и

,

 

= ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

δ =

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

притом единственный сопряженный оператор, при этом он так же линеен, т.е.

 

 

=

 

 

=

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

 

1.2

 

 

Матрица , удовлетворяющая условию

 

 

= ,

 

Обозначим

 

,

=

,

-

полуторалинейная форма в ,

называется сопряженной по отношению к .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

существует

единственный линейный

оператор, который

Замечание. В произвольном базисе =

 

, … ,

 

 

, = :

 

 

=

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

обозначим :

,

= ,

 

=

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

Лемма 1.2 Если , , ,

и

 

, =

, , ,

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

,

 

 

 

 

− ,

= 0, , − =

Следствия. 1) rang = rang ; det =

 

det .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) det − λ

 

= λ

 

 

=

 

λ − λ

1 … ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= , = . ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det − λ

= det − λ

= det − λ = det − λ

= λ =

 

Теорема 1.3 Свойства сопряженных операторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

λ − λ1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) = ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если λ , … , λ

 

 

- собственные значения алгебраической кратности

 

 

, … , ,

2) + = + ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то λ1, … , λ

 

 

 

- собственные значения оператора

 

алгебраической кратности

3)

λ = λ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

= ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

 

1.5

 

 

Пусть

 

=

 

, … ,

 

 

 

-

 

 

ОНБ

в

 

 

;

 

=

 

 

 

 

5)

−1

=

−1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

. Тогда - оператор,

сопряженный к тогда и только тогда,

6)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

когда

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполнены

для

любых

операторов, для

 

которых определены

 

указанные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » - оператор, сопряженный к , следовательно, в ОНБ

 

=

 

операции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

,

=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

« »

 

- матрица, сопряженная к :

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ,

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

+ , = , +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поставим матрицам в соответствие операторы:

 

 

; .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ,

=

,

+

, = ,

 

 

 

 

 

 

 

= ,

 

+

 

.

, : ,

 

 

 

= ,

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

+ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

λ ,

=

,

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

= =

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

=

 

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ ,

=

λ ,

 

 

 

 

 

 

 

=

,

λ

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

=

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= λ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

,

=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, : =

 

 

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

;

 

 

, =

 

 

 

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

,

=

,

 

=

,

=

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

=

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

, , −1

−1 = ;

 

−1

= = ;

−1

 

=

,

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 = −1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

, =

, =

,

 

=

,

 

 

 

=

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный оператор и его

Билет 3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный оператор и его

 

матрица в ОНБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица в ОНБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

2.1

 

Оператор

 

,

,

называется

4) Пусть 1 = λ1 1, 2 = λ2 2, λ1 ≠ λ2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальным,

если = . Матрица × ( × ) называется

1, 2

= 1, 2

; 1, 2

=

λ1 1, 2

= λ1

 

1, 2

, 1, 2

 

=

 

 

 

нормальной, если = = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, λ2 2

= λ2 1, 2 λ1

− λ2

1, 2

= 0, λ1 ≠ λ2

1, 2

= 0.

 

 

 

 

 

Теорема 2.1 (Свойства нормальных операторов)

Пусть ,

 

5) = λ, - собственный вектор ,

отвечающий собственному значению

 

,

– нормальный оператор, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ.

 

- линейное подпространство. По теореме о разложении унитарного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства в прямую сумму: =

( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) , :

,

= , ; 2)

:

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем инвариантность относительно и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Если 0 - собственный вектор линейного

оператора

,

отвечающий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= α = α = αλ

; = α = αλ

 

 

собственному значению λ

0

, то

 

 

- собственный вектор ,

отвечающий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

собственному значению λ0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Собственные векторы нормального оператора,

отвечающие различным

1 =

;

 

, = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =

,

=

, λ

= λ ,

= 0

 

;

 

 

 

 

 

 

собственным значениям, попарно ортогональны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

,

=

, λ

= λ ,

= 0

 

.

 

 

 

 

 

 

5)

dim = , -

 

собственный

вектор ,

то

=

 

 

 

, где

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.2 Оператор , нормален в ОНБ = , … ,

:

 

 

 

линейная оболочка ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Кроме того

 

 

 

- ортогональное дополнение к

- нормальная матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

– инвариантные подпространства относительно ,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

dim = , =

 

, … ,

– ОНБ в .

 

 

= ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

,

=

,

 

 

 

=

, =

 

,

= ,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 2) 1). 3) 0 = λ0 0;

 

λ0

 

= λ0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

нормальная

 

матрица

=

 

 

(по

теореме

1.5)

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

= – нормальный оператор.

 

 

 

 

a) Покажем, что, если - нормальный, то

− λ0

- нормальный, т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− λ0

 

− λ0 = − λ0

− λ0 = − λ0 − λ0 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− λ0

− λ0

 

− λ0

= − λ0

− −λ0

= − λ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 0

- собственный вектор линейного оператора

− λ0 0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.к.

 

− λ0

- нормальный оператор (свойство 2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = − λ

0

=

− λ

0

 

 

 

= − λ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ0 0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= λ

0

 

 

 

 

-

собственный

 

вектор

,

отвечающий собственному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значению λ0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ker = ker ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 1. Если - нормальный оператор, то

т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нетривиальные векторы являются собственными векторами, отвечающие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

собственному значению λ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 2. Если - нормальный оператор, то

ker =

 

im , ker =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

im .

Билет 3.9. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерии унитарности

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.10. Унитарные (ортогональные) матрицы и их свойства. Матрица перехода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от одного ортонормированного базиса к другому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 3.1 Линейный

 

оператор

 

, ,

действующий

в

Теорема 3.2 (Свойства унитарных (ортогональных) матриц)

 

 

 

 

 

унитарном пространстве (евклидовом

пространстве

 

),

называется

Пусть

- унитарная (ортогональная)

матрица, т.е. = = ( =

унитарным

(ортогональным),

если

= = .

Квадратная

матрица

), тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× ( × )

 

называется

унитарной

(ортогональной), если

 

=

1) −1: −1 = = ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

det = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения вытекает: 1) Если – унитарный нормальный

3) столбцы (строки) матрицы образуют ОНБ пространства .

 

 

 

выполняются все свойства нормального оператора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) из определения обратной и унитарной матриц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) – унитарный в любом ОНБ =

 

, … ,

:

 

 

- унитарна.

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

= det ∙ det

 

= det ∙ det = 1

 

det

2

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, … , : ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

В ОНБ =

 

 

 

.

-

 

унитарна

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= по теореме 1.5

в ОНБ =

 

, … ,

:

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) =

 

, … ,

=

 

,

=

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.1 (Критерий унитарности)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= = δ

 

 

=

 

=

 

 

=

 

 

 

 

=

,

 

,

 

 

 

В конечномерном унитарном (евклидовом)

пространстве ( )

следующие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

=

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

,

 

 

 

 

 

строки

 

(столбы)

утверждения равносильны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) - унитаный (ортогональный);2) = ;3) = ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образуют ОНБ в арифметическом пространстве .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) , : ,

=

 

,

 

- сохраняет скалярное произведение;

 

 

Лемма 3.3 Условие 3) является не только необходимым, но и достаточным

5) - сохраняет длину, т.е.

 

 

 

 

=

,

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условием, т.е. -

унитарная матрица строки (столбы)

образуют ОНБ в

6) переводит ОНБ в ОНБ.

 

 

 

 

1) 2), 1) 3) – очевидно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

арифметическом пространстве .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

1)

=

 

-

 

невырожденный

 

−1

−1

= −1 =

 

« » ,

= δ

 

 

=

 

 

 

.

 

Положим

 

 

 

=

:

 

 

 

 

=

−1

= = −1 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 1 аналогично.

1) 4)

,

=

,

=

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

= δ

=

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Положим

 

 

 

 

 

=

:

 

 

 

 

 

 

=

4) 1)

, =

,

=

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 5)

=

 

 

,

=

 

 

 

,

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

4):

,

=

1

 

+ 2

2

+ +

2

2

=

1

 

 

+

- унитарна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Следствие. Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ в унитарном

 

2

 

2 +

+

2

 

2

=

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

(евклидовом) пространстве унитарна (ортогональна).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

 

+

2

 

2

=

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

, =

, … ,

 

, =

 

, … ,

 

 

– ОНБ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 6) Пусть =

, … ,

 

 

- ОНБ ,

,

=

, = δ

 

, … ,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ = , =

 

,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

, =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=1

 

=1

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

– ОНБ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ =

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

= ,

 

 

т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

4)

Пусть

ОНБ

 

=

, … ,

 

=

 

, … ,

 

в

ОНБ

,

=

, =1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обратная матрица единственна, то = .

Следовательно,

-

унитарная

 

 

, =

 

 

 

: ,

1

 

 

 

 

,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

δ

=

 

 

 

 

,

=

 

 

,

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, . Следствие 1. – унитарен −1 - унитарен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 2. 1,

2- унитарные операторы 1

2 - унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

,

=

−1 , −1

 

 

= −1 , −1

 

−1 - унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

= −1

, −1

 

 

 

=

 

 

,

- унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

1

2 , 1

2

= 1 − унитарный

 

=

2 , 2

 

= 2 − унитарный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

,

1

2 - унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.11. Спектральная теорема для нормальных операторов и норм. матриц

Теорема 4.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Линейный

оператор

 

, , действующий в унитарном пространстве

dim =

есть нормальный оператор для него существует базис из

собственных векторов.

 

 

 

 

 

 

2) Матрица =

 

×

- нормальная матрица существует унитарная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица

=

 

 

, … ,

, столбцами которой

являются

собственные векторы

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

матрицы

:

= λ

 

 

, = 1, , приводящая

матрицу в

диагональному виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1

 

0

= .

 

 

 

 

Λ =

 

 

 

 

 

 

0λ

1) « » Пусть - нормальный оператор.

λ = det − λ - характеристический многочлен оператора (совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе).

Характеристический многочлен λ

имеет хотя бы один корень λ1,

следовательно,

существует хотя бы один собственный вектор 1. Пусть

1

= 1

и 1 = λ1 1.

Тогда по Т 2.1(п.5) =

1

1, 1 =

1 ,dim 1 = − 1, 1

- инвариантно

относительно .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 1 ; λ2, 2: 2 = λ2 2,

2

= 1, 1 = 2

2, 2 = 2

,dim 2

= −

 

2, 2 − инвариантно относительно .

 

 

 

 

 

 

Продолжим процесс:

=

 

,

где

, … ,

-

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

ортонормированная система векторов, они образуют ОНБ в .

 

 

 

 

« » Оператор имеет ОНБ из собственных векторов. Тогда матрица оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этом базисе имеет диагональный вид. Тогда

тоже имеет диагональный вид и

 

=

=

. Диагональные матрицы перестановочны

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перестановочны операторы

=

- нормальный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) « » Пусть - нормальная матрица: = ( = );

 

 

 

 

 

 

= , … ,

- произвольный ОНБ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- нормальный оператор: = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из 1)

ОНБ

из собственных векторов

=

, … ,

оператора

:

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

λ1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

, = 1, и

 

имеет в диагональный вид:

 

 

= Λ =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

- матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ -

унитарная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица: = −1

= Λ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » Пусть = Λ, где - унитарная матрица.

 

= λ

 

, = 1, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что - нормальная матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Λ = Λ , = Λ =

 

Λ = Λ ,

 

 

 

 

 

= Λ Λ = ΛΛ , = Λ Λ = Λ Λ .

 

 

 

 

 

 

 

Λ - диагональная матрица: ΛΛ = Λ Λ = - нормальная матрица.

Билет 3.12. Самосопряженный оператор и его свойства. Эрмитовые

 

 

 

 

 

Билет 3.13. Связь между нормальным, самосопряженным и унитарным оператором.

(симметрические) матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 5.1 Линейный оператор

,

действующий в

 

унитарном

Теорема 5.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(евклидовом) пространстве называется самосопряженным, если

 

= .

1) – самосопряженный - нормальный оператор и все собственные

Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют

значения этого оператора вещественны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эрмитовым, в евклидовом – симметрическим. Квадратная матрица

2)

 

- унитарный оператор – нормальный оператор и все собственные

называется

 

самосопряженной,

если

= ,

 

т.е.

= . Комплексную

значения по модулю равны единицы, т.е.

λ

= 1, .

 

 

 

 

 

 

 

 

самосопряженную

матрицу

называют эрмитовой,

 

вещественную

1) « » Т 5.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

симметрической.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » - нормальный оператор; :

= λ

 

, λ

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5.1 (свойства самосопряженных операторов)

 

 

 

 

 

 

 

Из основной спектральной теоремы существует ОНБ из собственных

1) Самосопряженный оператор – нормальный ( удовлетворяет свойствам

векторов: , … , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальных операторов Т2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

, =

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

 

 

, =

 

 

 

,

 

 

=

 

 

 

,

=

 

λ δ

=

3) - самосопряженный оператор в любом ОНБ

 

=

 

- эрмитова

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

=1

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, =1

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

= λ

 

=

 

 

λ δ =

 

 

 

 

λ , =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

, =1

, =1

 

 

 

 

 

матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

λ

=

 

 

 

,

 

 

 

 

=

,

= .

 

4) det

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

- нормальный оператор.

 

 

 

 

 

 

 

2)

« » -

унитарный –

 

нормальный. = λ,

= 1 =

 

=

 

= =

 

 

 

 

 

 

 

λ = λ

 

= λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

= λ λ ,

= λ,

=

,

=

 

 

=

,

 

=

, λ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

« » – нормальный

оператор

и

λ

= 1, существует

ОНБ

из

λ , λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

-

 

эрмитова матрица, т.е.

 

 

=

 

 

в любом ОНБ

 

 

=

собственных векторов:

, … , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

:

2 =

 

 

 

 

2 =

 

 

 

λ

2 =

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

det

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= det ∙ det

 

= det ∙ det

 

 

 

λ ,

 

 

λ

=

 

 

λ

λ =

 

 

 

λ

 

2

 

2

=

 

 

2 =

 

 

 

= det ∙ det = det ∙ det

 

 

=1

 

 

 

=1

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

det = det det .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 – унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет 3.14. Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых

 

Билет 3.15. Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц.

(симметрических) матриц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве

 

dim =

- унитарный существует ОНБ из собственных векторов и : λ = 1.

самосопряжен существует ОНБ из собственных векторов и все собственные

« »

– унитарный -

нормальный и : λ

= 1 существует

значения – вещественны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОНБ из собственных векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« » - самосопряженный по Т5.2 - нормальный и : λ по Т4.1

« » Существует ОНБ из собственных векторов - нормальный и : λ = 1

(основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных векторов.

 

 

– унитарный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« »

Существует ОНБ из собственных векторов по

Т4.1 - нормальный и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: λ – самосопряженный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

×

-

унитарна

 

существует

 

унитарная

матрица

Теорема 6.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

, …

 

: = ,

= λ

 

, λ

 

= 1.

 

 

 

 

Матрица =

 

- эрмитова

все собственные

значения

матрицы

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- унитарна

в

любом

ОНБ

=

 

, … , : =

 

 

-

унитарный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вещественны и существует унитарная матрица =

 

, …

, столбцы которой –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

оператор - нормальный и : λ

= 1 существует

унитарная матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

собственные векторы матрицы , отвечающие собственным значениям λ

 

:

=

:

 

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каноническая форма матрицы унитарного оператора.

 

λ

 

, λ

 

, = Λ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- унитарный оператор существует ОНБ из собственных векторов:

 

 

 

 

0

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

эрмитова матрица для

любого ОНБ

=

, … ,

: =

 

 

 

-

=

 

 

 

, λ

= 1, = 1, .

 

 

 

 

 

 

самосопряжен - нормален и : λ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

нормальная матрица

и

 

 

 

 

0

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: λ – унитарная матрица: = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.

 

Замечание. Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства.

 

 

 

 

 

Если - ортогональный оператор det = ±1, λ = ±1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ОНБ

 

 

 

= - ортогональная матрица,

т.е. −1 = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке 3 семестр экзамен