
3 семестр экзамен / Algebra_3_razdel
.pdfБилет 3.1. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств. |
|
|
Билет 3.1. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неравенство Коши - Буняковского. Линейные нормированные пространства. |
|
|
Неравенство Коши - Буняковского. Линейные нормированные пространства. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неравенство треугольника. Неравенства Коши - Буняковкского и треугольника в |
Неравенство треугольника. Неравенства Коши - Буняковкского и треугольника в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных пространствах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
различных пространствах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Определение 1.1 Пусть - вещественное или комплексное ЛП. Отображение |
Определение 1.2 Линейное комплексное пространство называется линейным |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
× → ( или ) называется скалярным произведением, если |
|
|
нормированным пространством, если для ставится в соответствие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, , , α : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вещественное число |
|
|
|
, называемое нормой указанного элемента, при этом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) , |
= , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
норма удовлетворяет следующим аксиомам: , , α : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
α, = α , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
≥ 0, |
|
= 0 = ; 2) |
|
α |
= |
|
|
|
α |
|
|
- однородность нормы; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
+ , |
|
= |
|
, |
+ , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
+ |
≤ |
|
+ |
|
|
|
– неравенство треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
, |
≥ 0, , = 0 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры:1) = 3: |
= |
|
|
|
- длина . 2) |
= [ , ]: |
|
= max[ . ] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Число |
, называется скалярным произведением; 1) – 4) – аксиомами |
|
Теорема 1.2 Всякое унитарное пространство является нормированным, если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярного произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в нем определить норму: |
|
|
|
= |
|
|
|
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вещественное ЛП со скалярным произведением называется евклидовым |
|
■1) |
|
|
≥ 0 (аксиома 4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространством: ; комплексное ЛП со скалярным произведением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) α = α, α = αα , = α |
|
|
|
|
|
, = α , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется унитарным пространством: . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
+ |
= |
|
|
+ , + |
= |
|
|
|
|
, |
|
+ |
|
, + |
, + |
|
, = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) = 3: |
, |
|
|
|
|
cos α. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
+ 2 Re , |
+ |
, |
≤ |
|
|
|
|
, |
+ 2 |
|
, |
|
+ |
, |
≤ (неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) = : , |
|
|
|
= ; = : , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
Коши Буняковского) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) = |
|
: , |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
[ , ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Простейшие свойства скалярного произведения: |
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
, |
+ 2 |
|
, |
|
|
, |
|
+ |
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
+ |
, |
|
|
|
= + . ■ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) , , : , + = |
, + , ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1) |
|
|
, |
|
|
|
≤ |
|
|
∙ |
|
|
|
(неравенство Коши – Буняковского). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) , , α : |
, α = α , ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Введем функцию ρ , = |
|
− |
|
|
– расстояние между и : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) : , |
|
= , = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ρ , ≥ 0, ρ , = 0 = , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
, |
= 0, |
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ρ , = ρ , , 3) ρ , ≤ ρ , + ρ , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ 3) = 0 ∙ , |
|
, = , 0 ∙ |
= 0 ∙ , = 0 ∙ , = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 1.3 Неравенство: |
|
|
− |
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
− |
|
≤ |
+ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) «» 3 « » , |
= 0, = |
|
|
, |
= 0 = . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
■ − = |
|
|
− + − |
|
|
|
≤ − + − = + ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.1 (неравенство Коши – Буняковского) Для , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= − + ≤ − + − ≤ − , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: |
( , ) |
2 |
|
≤ , ( , ) или |
|
|
≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
≤ − + − − ≤ − . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( , ) |
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3) В евклидовом пространстве углом между ненулевыми |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ Пусть ≠ , α : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами и называется угол 0 ≤ φ ≤ π , для которого |
cos φ = |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ α − , α − |
= α, α − α, |
|
|
− , α |
+ |
, |
= α 2 , |
|
− |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α , |
− α , |
+ |
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры (неравенства Коши – Буняковского и треугольника) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.к. ≠ |
|
, |
≠ 0 , пусть α = |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) : |
, = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 ≤ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 2 ≤ |
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда 0 ≤ |
|
|
|
|
, |
− |
|
|
, − |
|
|
|
, |
+ |
, |
= |
|
, |
2 |
− |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
, |
2 |
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) , : |
|
≤ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, , − , |
2 + , ( , ) = |
|
|
, , − , 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( , ) 2 ≤ , ( , ). ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( ) 2 |
2 |
|
≤ |
|
|
|
2( ) |
2 |
|
+ |
|
|
|
2( ) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.2. Общий вид скалярного произведения в евклидовом и унитарном |
|
Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространствах. Матрица Грама. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пусть = , … , |
|
|
– базис в |
, dim |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
Определение 3.1 Элементы , |
называются ортогональными , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, : = |
|
|
|
, = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
если их скалярное произведение равно нулю: , : |
, |
= 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, . |
|
|
|
|
|
Замечание 1. Нулевой элемент , и только нулевой, ортогонален любому |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Обозначим: , |
= |
|
|
, |
, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3.2 Система векторов унитарного пространства называется |
||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим матрицу = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = δ |
= |
1, = |
|
|
|
|
||||||
Определение 2.1 Матрица = |
|
|
|
называется матрицей Грама |
|
ортонормированной (ОНС), если |
(символ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, ≠ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кронекера). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
системы векторов , … , : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.1 Ортогональная система ненулевых векторов 1, … , - линейно |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независима. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= , … , |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 1, … , ортогональная система. Достаточно доказать, что |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенство α1 1 |
+ + α = достигается только при |
α1 = α2 = = |
|||||||||||||||||||||
Запись |
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= называется общим видом скалярного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0. Умножим скалярно на : α , |
= 0 |
α = 0, т.к. |
≠ . |
||||||||||||||||||||||
произведения в унитарном пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 1) Т.к. |
|
|
= |
|
|
– эрмитова матрица. |
|
|
|
Следствие 1. Ортонормированная система векторов линейно независима. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 2. В - мерном пространстве любая ОНС из векторов образует |
|||||||||||||||||||||||
2) |
|
- евклидово пространство: |
|
= |
|
|
- симметричная матрица и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
= ↓ - общий вид скалярного произведения в евклидовом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 3.2 В евклидовом (унитарном) пространстве координаты , … , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора в базисе = |
|
, … , |
вычисляются по правилу |
= |
, |
, = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 2.1 Пусть = |
|
|
, … , |
|
и = |
|
, … , |
|
базисы в , = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1, тогда и только тогда, |
когда = |
, … , |
- ортонормированный базис. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
→ |
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » Пусть = |
, |
, = 1, . Тогда = 0 ∙ |
+ + 1 ∙ + + 0 ∙ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
■ |
|
= , = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1, = . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
- тоже вычисляются по этому же правилу. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, ≠ |
|||||||||||||
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » Пусть = , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ОНБ, следовательно, из линейности скалярного |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения |
= |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.3 В унитарном пространстве скалярное произведение векторов |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
и = |
|
|
вычисляется по правилу |
, |
= |
|
тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и только тогда, когда = |
, … , |
- ОНБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » , |
= |
= 1, = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » В силу линейности скалярного произведения. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. В евклидовом пространстве |
, |
= |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование |
Билет 3.4. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении унитарного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства в виде прямой суммы линейных подпространств. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 4.1 (Шмидта об ортогонализации) Пусть в унитарном |
|
|
Определение 5.1 Пусть |
– линейное подпространство унитарного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве |
(dim |
= ) задан произвольный базис = |
|
, … , . |
(евклидова) пространства: |
. Вектор называется ортогональным к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
подпространству , |
если он ортогонален : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда в существует ОНБ |
= , … , |
, который можно построить |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
следующим образом: = |
|
, = 1, , где = − |
, |
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
1, 2, … , |
= 1, : . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 5.2 Подпространства 1 |
и 2 называются ортогональными |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Построение ОНБ методом математической индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 : 1, 2 , = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1, 1 |
= |
1 |
, |
1 |
≠ 0, т.к. система линейно независима. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Определение 5.3 Совокупность всех векторов , ортогональных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подпространству , называется ортогональным дополнением к до |
||||||||||||||||||||||
Пусть в унитарном пространстве |
, размерности , существует ОНБ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства и обозначается : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
, … , |
и = |
|
, = 1, , |
= − |
, |
|
|
|
− − , |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
= |
: , = 0, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Докажем, что в унитарном пространстве размерности + 1 существует |
Теорема 5.1 Ортогональное дополнение является линейным |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОНБ. Пусть , … , , |
- произвольный базис |
|
|
|
. , … , |
– линейная |
подпространством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
оболочка , … , - есть унитарное –мерное пространство. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, ; α, β : α1 + β2, = α 1, + β 2, = 0 α1 + |
|||||||||||||||||||||||
по предположению индукции в нем существует ОНБ , … , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
β2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
удовлетворяющий условиям теоремы. Рассмотрим вектор |
|
|
|
= |
+ |
Теорема 5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
+1 |
|
∩ = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
α |
+ α |
- линейная комбинация , … , , |
|
|
. Т.к. , … , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= 0 |
|
|
= . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+1 |
|
Пусть ∩ |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||
линейно независимы, , |
|
|
≠ . Числа α , … , α |
|
|
подберем так, чтобы |
Теорема 5.3 Унитарное пространство есть прямая сумма любого своего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
, = 1, . Умножим |
|
на , = 1, : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,т.е. = |
|
|||||||||||||||||||||||
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подпространства и его ортогонального дополнения |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 = |
|
|
, = |
|
|
, + α α = − |
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
, − − |
|
|
, |
|
|
|
|
Пусть , dim = . Если |
= 0 - тривиальное |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Положим |
= |
|
. Следовательно, |
, … , , |
|
|
образуют базис в |
подпространство. , , … , – ОНБ в . Дополним его до базиса (по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
, … , . Ортонормируем систем |
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме о неполном базисе): , , … , , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(теорема Шмидта) получим ОНБ в : , … , , |
|
, … , . Покажем, что |
||||||||||||||||||||
Следствие. Во всяком –мерном пространстве существует ОНБ. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, … , |
|
|
= = . |
|
|
|
|
1 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, … , |
= |
|
+ + ; = 1, : , = 0, т.к. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, … , , |
|
, … , |
– ОНБ в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратно: |
|
|
= + + |
+ |
|
+ + |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
+1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
= |
|
, |
|
|
|
= 0, = 1, |
|
|
|
, … , . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. dim |
|
|
|
, … , |
|
= dim = − |
dim = dim + dim = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.5. Линейная форма в линейном пространстве. Сопряженное пространство и |
Билет 3.6. Представление полуторалинейной (билинейной) формы в унитарном |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
его размерность. Биортогональный базис. Представление линейной формы в |
(евклидовом) пространстве с помощью линейного оператора |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
евклидовом (унитарном) пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема 6.1 - унитарное пространство. Для любой линейной формы |
- унитарное пространство. |
, - пространство линейных операторов из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
: |
в унитарном пространстве существует, и притом единственный, |
в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
вектор такой, что |
= |
, , . |
|
|
|
Теорема 7.1 Для любой , |
полуторалинейной (билинейной) формы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть = |
|
, … , |
|
- ОНБ в , α , … , α - коэффициенты линейной |
, |
, |
в унитарном |
|
(евклидовом) пространстве существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
формы в базисе , т.е. |
= α , = 1, . |
|
|
|
|
единственный линейный оператор , |
|
|
, |
|
такой, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
= |
|
|
( ) = |
|
|
α . |
|
|
|
, |
= |
, , , , причем матрица |
|
|
полуторалинейной |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим = |
|
α , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формы , (билинейной формы , ) и матрица |
оператора в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
, = |
|
|
, |
|
|
α |
= |
|
α , |
= |
|
α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
произвольном ОНБ связаны соотношением: |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, - удовлетворяет условию |
, |
= ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Доказательство проведем для полуторалинейной формы. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажем единственность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Возьмем и зафиксируем . Тогда , |
|
- линейная форма |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть 1: = |
, 1 |
= |
, |
|
, − 1 |
= 0, , − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргумента . Следовательно, |
|
! : , |
|
= ( , ). Таким образом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 1 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построили отображение: ! . Следовательно, задали |
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
, |
- пространство, сопряженное к . |
|
|
|
оператор = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В определим функционалы |
. Их достаточно определить на базисных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Покажем, что построенный оператор линеен. 1, 2 |
, α, β |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах: = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 1 = 1, 2 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1, = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, α |
+ β |
= , α |
+ β |
= α , |
|
|
+ β , |
= α , |
+ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0, ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β , 2 |
= |
, α1 |
+ β2 |
= |
, α1 + β2 |
, α1 + β2 |
= |
|||||||||||||||||||
Покажем, что |
, = 1, образуют базис в . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 + β2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) = 1, их = dim . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) Докажем линейную независимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Докажем единственность. Пусть 1, 2: , = |
, 1 = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
β + + β |
|
|
= - нулевой функционал: |
β + + |
, 2 |
, 1 − 2 |
= 0, 1 − 2 = 1 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 , 1 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
β |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) , |
= = |
, |
= в ОНБ = |
|
= = , , |
|||||||||||||||||
Положим = |
β |
|
= β |
|
= 0, = 1, линейно |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
↓ |
|
↓ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
независимы образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение 6.1 |
, … , |
называется биортогональным базисом к базису |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного |
|
|
|
Билет 3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Определение 1.1 Оператор , действующий в унитарном пространстве , |
Теорема 1.4 (Матрица сопряженного оператора в ОНБ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется |
сопряженным |
к линейному |
оператору |
, , |
если |
Пусть |
|
= |
|
|
|
, … , |
|
|
|
|
- |
|
ОНБ |
в , |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, = |
, , , |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
т.е. |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. 3, = |
, , 3 - фиксирован. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= , − , , , = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
, : |
, |
|
|
= |
, . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, = |
, , |
= |
, |
, |
|
= |
, − , |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 1.1 |
Для любого линейного оператора , существует и |
, |
|
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
δ = |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
притом единственный сопряженный оператор, при этом он так же линеен, т.е. |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
|
1.2 |
|
|
Матрица , удовлетворяющая условию |
|
|
= , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обозначим |
|
, |
= |
, |
- |
полуторалинейная форма в , |
называется сопряженной по отношению к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
существует |
единственный линейный |
оператор, который |
Замечание. В произвольном базисе = |
|
, … , |
|
|
, = : |
|
|
= |
−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обозначим : |
, |
= , |
|
= |
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 1.2 Если , , , |
и |
|
, = |
, , , |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
, |
= |
, |
|
|
|
|
− , |
= 0, , − = |
Следствия. 1) rang = rang ; det = |
|
det . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) det − λ |
|
= λ |
|
|
= |
|
λ − λ |
1 … ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= , = . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det − λ |
= det − λ |
= det − λ = det − λ |
= λ = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.3 Свойства сопряженных операторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ − λ1 |
1 … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1) = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если λ , … , λ |
|
|
- собственные значения алгебраической кратности |
|
|
, … , , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) + = + ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то λ1, … , λ |
|
|
|
- собственные значения оператора |
|
алгебраической кратности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
λ = λ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
= ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
|
1.5 |
|
|
Пусть |
|
= |
|
, … , |
|
|
|
- |
|
|
ОНБ |
в |
|
|
; |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
−1 |
= |
−1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. Тогда - оператор, |
сопряженный к тогда и только тогда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
выполнены |
для |
любых |
операторов, для |
|
которых определены |
|
указанные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
« » - оператор, сопряженный к , следовательно, в ОНБ |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
операции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
, |
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
« » |
|
- матрица, сопряженная к : |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= , |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) |
+ , = , + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поставим матрицам в соответствие операторы: |
|
|
; . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
+ , |
= |
, |
+ |
, = , |
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
+ |
|
. |
, : , |
|
|
|
= , |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
λ , |
= |
, |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
= = |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ , |
= |
λ , |
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
λ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
= λ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
, |
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, : = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
; |
|
|
, = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
, |
= |
, |
|
= |
, |
= |
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
, , −1 |
∙ −1 = ; |
|
∙ −1 |
= = ; |
−1 |
|
= |
, |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) |
, = |
, = |
, |
|
= |
, |
|
|
|
= |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
Билет 3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный оператор и его |
Билет 3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный оператор и его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
матрица в ОНБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица в ОНБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Определение |
2.1 |
|
Оператор |
|
, |
, |
называется |
4) Пусть 1 = λ1 1, 2 = λ2 2, λ1 ≠ λ2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
нормальным, |
если = . Матрица × ( × ) называется |
1, 2 |
= 1, 2 |
; 1, 2 |
= |
λ1 1, 2 |
= λ1 |
|
1, 2 |
, 1, 2 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
нормальной, если = = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, λ2 2 |
= λ2 1, 2 λ1 |
− λ2 |
1, 2 |
= 0, λ1 ≠ λ2 |
1, 2 |
= 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 2.1 (Свойства нормальных операторов) |
Пусть , |
|
5) = λ, - собственный вектор , |
отвечающий собственному значению |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
– нормальный оператор, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ. |
|
- линейное подпространство. По теореме о разложении унитарного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства в прямую сумму: = |
( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) , : |
, |
= , ; 2) |
: |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Докажем инвариантность относительно и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) Если 0 - собственный вектор линейного |
оператора |
, |
отвечающий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= α = α = αλ |
; = α = αλ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
собственному значению λ |
0 |
, то |
|
|
- собственный вектор , |
отвечающий |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
собственному значению λ0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4) |
Собственные векторы нормального оператора, |
отвечающие различным |
1 = |
; |
|
, = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, = |
, |
= |
, λ |
= λ , |
= 0 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
собственным значениям, попарно ортогональны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= |
, |
= |
, λ |
= λ , |
= 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5) |
dim = , - |
|
собственный |
вектор , |
то |
= |
|
|
|
, где |
|
- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Теорема 2.2 Оператор , нормален в ОНБ = , … , |
: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
линейная оболочка , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Кроме того |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- ортогональное дополнение к |
- нормальная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
– инвариантные подпространства относительно , |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
dim = , = |
|
, … , |
– ОНБ в . |
|
|
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
, |
= |
, |
|
|
|
= |
, = |
|
, |
= , |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. 2) 1). 3) 0 = λ0 0; |
|
λ0 |
|
= λ0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
нормальная |
|
матрица |
= |
|
|
(по |
теореме |
1.5) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= – нормальный оператор. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a) Покажем, что, если - нормальный, то |
− λ0 |
- нормальный, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− λ0 |
|
− λ0 = − λ0 |
− λ0 = − λ0 − λ0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
− λ0 |
− λ0 |
|
− λ0 |
= − λ0 |
− −λ0 |
= − λ0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
λ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b) 0 |
- собственный вектор линейного оператора |
− λ0 0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
т.к. |
|
− λ0 |
- нормальный оператор (свойство 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 = − λ |
0 |
= |
− λ |
0 |
|
|
|
= − λ |
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ0 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= λ |
0 |
|
|
|
|
- |
собственный |
|
вектор |
, |
отвечающий собственному |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
значению λ0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ker = ker , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Следствие 1. Если - нормальный оператор, то |
т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
нетривиальные векторы являются собственными векторами, отвечающие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
собственному значению λ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Следствие 2. Если - нормальный оператор, то |
ker = |
|
im , ker = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
im .
Билет 3.9. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерии унитарности |
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.10. Унитарные (ортогональные) матрицы и их свойства. Матрица перехода |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от одного ортонормированного базиса к другому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Определение 3.1 Линейный |
|
оператор |
|
, , |
действующий |
в |
Теорема 3.2 (Свойства унитарных (ортогональных) матриц) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
унитарном пространстве (евклидовом |
пространстве |
|
), |
называется |
Пусть |
- унитарная (ортогональная) |
матрица, т.е. = = ( = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
унитарным |
(ортогональным), |
если |
= = . |
Квадратная |
матрица |
), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
× ( × ) |
|
называется |
унитарной |
(ортогональной), если |
|
= |
1) −1: −1 = = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
det = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из определения вытекает: 1) Если – унитарный нормальный |
3) столбцы (строки) матрицы образуют ОНБ пространства . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняются все свойства нормального оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) из определения обратной и унитарной матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) – унитарный в любом ОНБ = |
|
, … , |
: |
|
|
- унитарна. |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
= det ∙ det |
|
= det ∙ det = 1 |
|
det |
2 |
= 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, … , : , |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В ОНБ = |
|
|
|
. |
- |
|
унитарна |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= по теореме 1.5 |
в ОНБ = |
|
, … , |
: |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3) = |
|
, … , |
= |
|
, |
= |
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1↓ |
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема 3.1 (Критерий унитарности) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = δ |
|
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
, |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В конечномерном унитарном (евклидовом) |
пространстве ( ) |
следующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
δ |
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
строки |
|
(столбы) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
утверждения равносильны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) - унитаный (ортогональный);2) = ;3) = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образуют ОНБ в арифметическом пространстве . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) , : , |
= |
|
, |
|
- сохраняет скалярное произведение; |
|
|
Лемма 3.3 Условие 3) является не только необходимым, но и достаточным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) - сохраняет длину, т.е. |
|
|
|
|
= |
, |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условием, т.е. - |
унитарная матрица строки (столбы) |
образуют ОНБ в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) переводит ОНБ в ОНБ. |
|
|
|
|
1) 2), 1) 3) – очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
арифметическом пространстве . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
1) |
= |
|
- |
|
невырожденный |
|
−1 |
−1 |
= −1 = |
|
« » , |
= δ |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
Положим |
|
|
|
= |
: |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
= = −1 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 1 аналогично. |
1) 4) |
, |
= |
, |
= |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
= δ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
= |
: |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 1) |
, = |
, |
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
= |
|
|
↓ |
|
↓ |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) 5) |
= |
|
|
, |
= |
|
|
|
, |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5) |
|
4): |
, |
= |
1 |
|
+ 2 − |
− 2 |
+ + |
2 − |
− 2 |
= |
1 |
|
|
+ |
- унитарна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Следствие. Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ в унитарном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 − |
− |
|
2 + |
+ |
2 − |
− |
|
2 |
= |
|
|
+ 2 − |
|
|
|
|
|
(евклидовом) пространстве унитарна (ортогональна). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
2 + |
|
+ |
2 − |
|
− |
2 |
= |
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, = |
, … , |
|
, = |
|
, … , |
|
|
– ОНБ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 6) Пусть = |
, … , |
|
|
- ОНБ , |
, |
= |
, = δ |
|
, … , |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
δ = , = |
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– ОНБ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
т.к. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
4) |
Пусть |
ОНБ |
|
= |
, … , |
|
= |
|
, … , |
|
в |
ОНБ |
, |
= |
, =1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
обратная матрица единственна, то = . |
Следовательно, |
- |
унитарная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, = |
|
|
|
: , |
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
= |
|
|
δ |
= |
|
|
|
|
, |
= |
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, . Следствие 1. – унитарен −1 - унитарен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие 2. 1, |
2- унитарные операторы 1 |
∙ 2 - унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
, |
= |
−1 , −1 |
|
|
= −1 , −1 |
|
−1 - унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
|
= −1 |
, −1 |
|
|
|
= |
|
|
, |
- унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) |
1 |
2 , 1 |
2 |
= 1 − унитарный |
|
= |
2 , 2 |
|
= 2 − унитарный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
, |
1 ∙ |
2 - унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Билет 3.11. Спектральная теорема для нормальных операторов и норм. матриц
Теорема 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Линейный |
оператор |
|
, , действующий в унитарном пространстве |
||||||||
dim = |
есть нормальный оператор для него существует базис из |
||||||||||
собственных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Матрица = |
|
× |
- нормальная матрица существует унитарная |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
= |
|
|
, … , |
↓ |
, столбцами которой |
являются |
собственные векторы |
|||
|
|
1↓ |
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы |
: |
= λ |
|
|
, = 1, , приводящая |
матрицу в |
диагональному виду: |
||||
|
|
↓ |
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
0 |
= . |
|
|
|
|
||||
Λ = |
|
|
|
|
|
|
0λ
1) « » Пусть - нормальный оператор.
λ = det − λ - характеристический многочлен оператора (совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе).
Характеристический многочлен λ |
имеет хотя бы один корень λ1, |
следовательно, |
|||||||
существует хотя бы один собственный вектор 1. Пусть |
1 |
= 1 |
и 1 = λ1 1. |
||||||
Тогда по Т 2.1(п.5) = |
1 |
1, 1 = |
1 ,dim 1 = − 1, 1 |
- инвариантно |
|||||
относительно . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 ; λ2, 2: 2 = λ2 2, |
2 |
= 1, 1 = 2 |
2, 2 = 2 |
,dim 2 |
= − |
|
|||
2, 2 − инвариантно относительно . |
|
|
|
|
|
|
|||
Продолжим процесс: |
= |
|
… |
, |
где |
, … , |
- |
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
ортонормированная система векторов, они образуют ОНБ в . |
|
|
|
|
« » Оператор имеет ОНБ из собственных векторов. Тогда матрица оператора |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этом базисе имеет диагональный вид. Тогда |
тоже имеет диагональный вид и |
||||||||||||||||
|
= |
= |
. Диагональные матрицы перестановочны |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перестановочны операторы |
= |
- нормальный |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) « » Пусть - нормальная матрица: = ( = ); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= , … , |
- произвольный ОНБ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- нормальный оператор: = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из 1) |
ОНБ |
из собственных векторов |
= |
, … , |
оператора |
: |
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
λ1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
λ |
, = 1, и |
|
имеет в диагональный вид: |
|
|
= Λ = |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
λ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
- матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ - |
унитарная |
||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица: = −1 |
= Λ = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
« » Пусть = Λ, где - унитарная матрица. |
|
= λ |
|
, = 1, . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что - нормальная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= Λ = Λ , = Λ = |
|
Λ = Λ , |
|
|
|
|
|
||||||||||
= Λ Λ = ΛΛ , = Λ Λ = Λ Λ . |
|
|
|
|
|
|
|
Λ - диагональная матрица: ΛΛ = Λ Λ = - нормальная матрица.
Билет 3.12. Самосопряженный оператор и его свойства. Эрмитовые |
|
|
|
|
|
Билет 3.13. Связь между нормальным, самосопряженным и унитарным оператором. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(симметрические) матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 5.1 Линейный оператор |
, |
действующий в |
|
унитарном |
Теорема 5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(евклидовом) пространстве называется самосопряженным, если |
|
= . |
1) – самосопряженный - нормальный оператор и все собственные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют |
значения этого оператора вещественны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эрмитовым, в евклидовом – симметрическим. Квадратная матрица |
2) |
|
- унитарный оператор – нормальный оператор и все собственные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется |
|
самосопряженной, |
если |
= , |
|
т.е. |
= . Комплексную |
значения по модулю равны единицы, т.е. |
λ |
= 1, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
самосопряженную |
матрицу |
называют эрмитовой, |
|
вещественную |
– |
1) « » Т 5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
симметрической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » - нормальный оператор; : |
= λ |
|
, λ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема 5.1 (свойства самосопряженных операторов) |
|
|
|
|
|
|
|
Из основной спектральной теоремы существует ОНБ из собственных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Самосопряженный оператор – нормальный ( удовлетворяет свойствам |
векторов: , … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
нормальных операторов Т2.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. |
|
|
, = |
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
, |
= |
|
λ δ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) - самосопряженный оператор в любом ОНБ |
|
= |
|
- эрмитова |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
λ |
|
= λ |
|
= |
|
|
λ δ = |
|
|
|
|
λ , = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
, =1 |
, =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
λ |
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
, |
= . |
|
||||||||||||||||||
4) det |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
- нормальный оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
« » - |
унитарный – |
|
нормальный. = λ, |
= 1 = |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= = |
|
|
|
|
|
|
|
λ = λ |
|
= λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) |
= λ λ , |
= λ, |
= |
, |
= |
|
|
= |
, |
|
= |
, λ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
, |
|
« » – нормальный |
оператор |
и |
λ |
= 1, существует |
ОНБ |
из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ , λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
- |
|
эрмитова матрица, т.е. |
|
|
= |
|
|
в любом ОНБ |
|
|
= |
собственных векторов: |
, … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
2 = |
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
λ |
2 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
det |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= det ∙ det |
|
= det ∙ det |
|
|
|
λ , |
|
|
λ |
= |
|
|
λ |
λ = |
|
|
|
λ |
|
2 |
|
2 |
= |
|
|
2 = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
= det ∙ det = det ∙ det |
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
det = det det . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 – унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 3.14. Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых |
|
Билет 3.15. Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(симметрических) матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 6.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве |
|
dim = |
- унитарный существует ОНБ из собственных векторов и : λ = 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
самосопряжен существует ОНБ из собственных векторов и все собственные |
« » |
– унитарный - |
нормальный и : λ |
= 1 существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения – вещественны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОНБ из собственных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
« » - самосопряженный по Т5.2 - нормальный и : λ по Т4.1 |
« » Существует ОНБ из собственных векторов - нормальный и : λ = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных векторов. |
|
|
– унитарный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
« » |
Существует ОНБ из собственных векторов по |
Т4.1 - нормальный и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
: λ – самосопряженный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 6.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
× |
- |
унитарна |
|
существует |
|
унитарная |
матрица |
||||||||||||||
Теорема 6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
↓ |
, … |
|
: = , |
= λ |
|
, λ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|||||||||||
Матрица = |
|
- эрмитова |
все собственные |
значения |
матрицы |
|
|
|
1 |
|
↓ |
|
|
|
↓ |
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
- унитарна |
в |
любом |
ОНБ |
= |
|
, … , : = |
|
|
- |
унитарный |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
вещественны и существует унитарная матрица = |
|
, … |
, столбцы которой – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
↓ |
оператор - нормальный и : λ |
= 1 существует |
унитарная матрица |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
собственные векторы матрицы , отвечающие собственным значениям λ |
|
: |
= |
: |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каноническая форма матрицы унитарного оператора. |
|
||||||||||||||||||
λ |
|
, λ |
|
, = Λ = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- унитарный оператор существует ОНБ из собственных векторов: |
||||||||||||||||||||||||||
|
↓ |
|
|
|
0 |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- |
эрмитова матрица для |
любого ОНБ |
= |
, … , |
: = |
|
|
|
- |
= |
|
|
|
, λ |
= 1, = 1, . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
самосопряжен - нормален и : λ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
- |
нормальная матрица |
и |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
: λ – унитарная матрица: = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каноническая форма матрицы ортогонального оператора. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства. |
|
|
|
|
|
Если - ортогональный оператор det = ±1, λ = ±1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ОНБ |
|
|
|
= - ортогональная матрица, |
т.е. −1 = . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|