Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

3 семестр экзамен / Algebra_3_razdel

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

806.96 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Билет 3.1. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

Неравенство Коши - Буняковского. Линейные нормированные пространства.

Неравенство треугольника. Неравенства Коши - Буняковкского и треугольника в

различных пространствах.

Определение 1.1 Пусть - вещественное или комплексное ЛП. Отображение

Определение 1.2 Линейное комплексное пространство называется линейным

× → ( или ) называется скалярным произведением, если

нормированным пространством, если для ставится в соответствие

, , , α :

вещественное число

, называемое нормой указанного элемента, при этом

1) ,

= , ,

норма удовлетворяет следующим аксиомам: , , α :

α, = α , ,

≥ 0,

= 0 = ; 2)

- однородность нормы;

+ ,

+ , ,

≤

– неравенство треугольника.

≥ 0, , = 0 = .

Примеры:1) = 3:

- длина . 2)

= [ , ]:

= max[ . ]

Число

, называется скалярным произведением; 1) – 4) – аксиомами

Теорема 1.2 Всякое унитарное пространство является нормированным, если

скалярного произведения.

в нем определить норму:

, .

Вещественное ЛП со скалярным произведением называется евклидовым

■1)

≥ 0 (аксиома 4),

пространством: ; комплексное ЛП со скалярным произведением

2) α = α, α = αα , = α

, = α ,

называется унитарным пространством: .

Примеры:

+ , +

, +

, =

1) = 3:

cos α.

+ 2 Re ,

≤

+ 2

≤ (неравенство

2) = : ,

= ; = : ,

↓

Коши Буняковского)

3) =

: ,

1 2

[ , ]

Простейшие свойства скалярного произведения:

≤

+ 2

, =

= + . ■

1) , , : , + =

, + , ;

Замечание 1)

≤

∙

(неравенство Коши – Буняковского).

2) , , α :

, α = α , ;

2) Введем функцию ρ , =

−

– расстояние между и :

3) : ,

= , = 0;

1) ρ , ≥ 0, ρ , = 0 = ,

= 0,

= .

2) ρ , = ρ , , 3) ρ , ≤ ρ , + ρ , .

■ 3) = 0 ∙ ,

, = , 0 ∙

= 0 ∙ , = 0 ∙ , = 0.

Теорема 1.3 Неравенство:

−

≤

−

≤

+ .

4) «» 3 « » ,

= 0, =

= 0 = . ■

■ − =

− + −

≤ − + − = + ;

Теорема 1.1 (неравенство Коши – Буняковского) Для ,

= − + ≤ − + − ≤ − ,

( , )

≤ , ( , ) или

≥ 0.

≤ − + − − ≤ − . ■

( , )

Замечание 3) В евклидовом пространстве углом между ненулевыми

■ Пусть ≠ , α :

векторами и называется угол 0 ≤ φ ≤ π , для которого

cos φ =

0 ≤ α − , α −

= α, α − α,

− , α

= α 2 ,

−

α ,

− α ,

, .

Примеры (неравенства Коши – Буняковского и треугольника)

Т.к. ≠

≠ 0 , пусть α =

1) :

, =

2 ≤

2 ;

2 2 ≤

2 +

Тогда 0 ≤

−

, −

−

2) , :

≤

;

, , − ,

2 + , ( , ) =

, , − , 2

( , ) 2 ≤ , ( , ). ■

+ ( ) 2

≤

2( )

Билет 3.2. Общий вид скалярного произведения в евклидовом и унитарном

Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование

пространствах. Матрица Грама.

ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта.

Пусть = , … ,

– базис в

, dim

= .

Определение 3.1 Элементы ,

называются ортогональными ,

, : =

, =

если их скалярное произведение равно нулю: , :

= 0.

, .

Замечание 1. Нулевой элемент , и только нулевой, ортогонален любому

, =1

вектору пространства.

Обозначим: ,

, =

= .

, =1

Определение 3.2 Система векторов унитарного пространства называется

Рассмотрим матрицу = .

, = δ

1, =

Определение 2.1 Матрица =

называется матрицей Грама

ортонормированной (ОНС), если

(символ

0, ≠

, =1

Кронекера).

системы векторов , … , :

Теорема 3.1 Ортогональная система ненулевых векторов 1, … , - линейно

независима.

= , … ,

Пусть 1, … , ортогональная система. Достаточно доказать, что

равенство α1 1

+ + α = достигается только при

α1 = α2 = =

Запись

= называется общим видом скалярного

, =1

↓

α = 0. Умножим скалярно на : α ,

= 0

α = 0, т.к.

≠ .

произведения в унитарном пространстве.

Замечание 1) Т.к.

– эрмитова матрица.

Следствие 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Следствие 2. В - мерном пространстве любая ОНС из векторов образует

- евклидово пространство:

- симметричная матрица и

базис.

= ↓ - общий вид скалярного произведения в евклидовом

Теорема 3.2 В евклидовом (унитарном) пространстве координаты , … ,

пространстве.

вектора в базисе =

, … ,

вычисляются по правилу

, =

Теорема 2.1 Пусть =

, … ,

и =

, … ,

базисы в , =

1, тогда и только тогда,

когда =

, … ,

- ортонормированный базис.

→

Тогда

= .

« » Пусть =

, = 1, . Тогда = 0 ∙

+ + 1 ∙ + + 0 ∙

■

= , =

, =

1, = .

- тоже вычисляются по этому же правилу. Следовательно,

= . ■

0, ≠

« » Пусть = , … ,

- ОНБ, следовательно, из линейности скалярного

произведения

Теорема 3.3 В унитарном пространстве скалярное произведение векторов

и =

вычисляется по правилу

тогда

и только тогда, когда =

, … ,

- ОНБ.

« » ,

= 1, = .

0, ≠

« » В силу линейности скалярного произведения.

Замечание 2. В евклидовом пространстве

Билет 3.3. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Существование

Билет 3.4. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении унитарного

ОНБ. Процесс ортогонализации Шмидта.

пространства в виде прямой суммы линейных подпространств.

Теорема 4.1 (Шмидта об ортогонализации) Пусть в унитарном

Определение 5.1 Пусть

– линейное подпространство унитарного

пространстве

(dim

= ) задан произвольный базис =

, … , .

(евклидова) пространства:

. Вектор называется ортогональным к

подпространству ,

если он ортогонален :

Тогда в существует ОНБ

= , … ,

, который можно построить

: .

следующим образом: =

, = 1, , где = −

− −

−1

1, 2, … ,

= 1, : .

Определение 5.2 Подпространства 1

и 2 называются ортогональными

1 1

Построение ОНБ методом математической индукции.

1 2 : 1, 2 , = 0 .

= 1, 1

≠ 0, т.к. система линейно независима.

Определение 5.3 Совокупность всех векторов , ортогональных

подпространству , называется ортогональным дополнением к до

Пусть в унитарном пространстве

, размерности , существует ОНБ

пространства и обозначается :

, … ,

и =

, = 1, ,

= −

− − ,

−1

1 1

: , = 0, .

Докажем, что в унитарном пространстве размерности + 1 существует

Теорема 5.1 Ортогональное дополнение является линейным

ОНБ. Пусть , … , ,

- произвольный базис

. , … ,

– линейная

подпространством.

оболочка , … , - есть унитарное –мерное пространство. Следовательно,

1, 2, ; α, β : α1 + β2, = α 1, + β 2, = 0 α1 +

по предположению индукции в нем существует ОНБ , … , ,

β2 .

удовлетворяющий условиям теоремы. Рассмотрим вектор

Теорема 5.2

∩ = .

+ α

- линейная комбинация , … , ,

. Т.к. , … , ,

= 0

= .

Пусть ∩

линейно независимы, ,

≠ . Числа α , … , α

подберем так, чтобы

Теорема 5.3 Унитарное пространство есть прямая сумма любого своего

, = 1, . Умножим

на , = 1, :

,т.е. =

подпространства и его ортогонального дополнения

0 =

, =

, + α α = −

−

, − −

Пусть , dim = . Если

= 0 - тривиальное

Положим

. Следовательно,

, … , ,

образуют базис в

подпространство. , , … , – ОНБ в . Дополним его до базиса (по

, … , . Ортонормируем систем

теореме о неполном базисе): , , … , ,

1 2

(теорема Шмидта) получим ОНБ в : , … , ,

, … , . Покажем, что

Следствие. Во всяком –мерном пространстве существует ОНБ.

, … ,

= = .

, … ,

+ + ; = 1, : , = 0, т.к.

, … , ,

, … ,

– ОНБ в .

Обратно:

= + +

+ +

+1 +1

, где

= 0, = 1,

, … , .

Т.к. dim

, … ,

= dim = −

dim = dim + dim =

Билет 3.5. Линейная форма в линейном пространстве. Сопряженное пространство и

Билет 3.6. Представление полуторалинейной (билинейной) формы в унитарном

его размерность. Биортогональный базис. Представление линейной формы в

(евклидовом) пространстве с помощью линейного оператора

евклидовом (унитарном) пространстве.

Теорема 6.1 - унитарное пространство. Для любой линейной формы

- унитарное пространство.

, - пространство линейных операторов из

в унитарном пространстве существует, и притом единственный,

в .

вектор такой, что

, , .

Теорема 7.1 Для любой ,

полуторалинейной (билинейной) формы

Пусть =

, … ,

- ОНБ в , α , … , α - коэффициенты линейной

в унитарном

(евклидовом) пространстве существует

формы в базисе , т.е.

= α , = 1, .

единственный линейный оператор ,

такой, что

( ) =

α .

, , , , причем матрица

полуторалинейной

Рассмотрим =

α , тогда

формы , (билинейной формы , ) и матрица

оператора в

, =

α ,

α .

произвольном ОНБ связаны соотношением:

= .

, =1

Следовательно, - удовлетворяет условию

= ( ).

Доказательство проведем для полуторалинейной формы.

Докажем единственность.

1) Возьмем и зафиксируем . Тогда ,

- линейная форма

Пусть 1: =

, 1

, − 1

= 0, , − 1

аргумента . Следовательно,

! : ,

= ( , ). Таким образом

− 1 = .

построили отображение: ! . Следовательно, задали

- пространство, сопряженное к .

оператор = .

В определим функционалы

. Их достаточно определить на базисных

Покажем, что построенный оператор линеен. 1, 2

, α, β

векторах: = 1,

. 1 = 1, 2 = 2.

1, = .

, α

+ β

= , α

+ β

= α ,

+ β ,

= α ,

0, ≠

β , 2

, α1

+ β2

, α1 + β2

Покажем, что

, = 1, образуют базис в .

α1 + β2.

1) = 1, их = dim .

2) Докажем линейную независимость.

2) Докажем единственность. Пусть 1, 2: , =

, 1 =

β + + β

= - нулевой функционал:

β + +

, 2

, 1 − 2

= 0, 1 − 2 = 1 =

1 1

2 , 1 = 2.

= .

3) ,

= =

= в ОНБ =

= = , ,

Положим =

= β

= 0, = 1, линейно

↓

= .

независимы образуют базис.

Определение 6.1

, … ,

называется биортогональным базисом к базису

, … , .

Билет 3.7. Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного

оператора.

Определение 1.1 Оператор , действующий в унитарном пространстве ,

Теорема 1.4 (Матрица сопряженного оператора в ОНБ)

называется

сопряженным

к линейному

оператору

, ,

если

Пусть

, … ,

ОНБ

в ,

Тогда

, =

, , ,

т.е.

= .

Пример. 3, =

, , 3 - фиксирован.

= , − , , , =

, =

;

, :

, .

, =

, ,

, − ,

−.

Теорема 1.1

Для любого линейного оператора , существует и

= ,

, =

δ =

притом единственный сопряженный оператор, при этом он так же линеен, т.е.

= .

, .

Определение

1.2

Матрица , удовлетворяющая условию

= ,

Обозначим

полуторалинейная форма в ,

называется сопряженной по отношению к .

следовательно,

существует

единственный линейный

оператор, который

Замечание. В произвольном базисе =

, … ,

, = :

−1

обозначим :

= ,

, .

Лемма 1.2 Если , , ,

, =

, , ,

, то

↓

= .

−1

− ,

= 0, , − =

Следствия. 1) rang = rang ; det =

det .

− =

2) det − λ

= λ

λ − λ

1 … ;

= , = . ■

det − λ

= det − λ

= det − λ = det − λ

= λ =

Теорема 1.3 Свойства сопряженных операторов:

λ − λ1

1 …

1) = ;

Если λ , … , λ

- собственные значения алгебраической кратности

, … , ,

2) + = + ;

то λ1, … , λ

- собственные значения оператора

алгебраической кратности

λ = λ ;

, … , .

= ;

Теорема

1.5

Пусть

, … ,

ОНБ

;

−1

−1;

. Тогда - оператор,

сопряженный к тогда и только тогда,

когда

выполнены

для

любых

операторов, для

которых определены

указанные

« » - оператор, сопряженный к , следовательно, в ОНБ

операции.

= .

, .

« »

- матрица, сопряженная к :

= .

= ,

+ , = , +

Поставим матрицам в соответствие операторы:

; .

+ ,

, = ,

= ,

, : ,

= ,

, =

+ ,

λ ,

= =

, =

λ ,

, .

= λ ,

, : =

, =

;

, =

, .

, =1

, , −1

∙ −1 = ;

∙ −1

= = ;

−1

−1 = −1.

, =

, .

Билет 3.8. Нормальный оператор и его свойства. Нормальный оператор и его

матрица в ОНБ.

Определение

2.1

Оператор

называется

4) Пусть 1 = λ1 1, 2 = λ2 2, λ1 ≠ λ2.

нормальным,

если = . Матрица × ( × ) называется

1, 2

= 1, 2

; 1, 2

λ1 1, 2

= λ1

1, 2

, 1, 2

нормальной, если = = .

1, λ2 2

= λ2 1, 2 λ1

− λ2

1, 2

= 0, λ1 ≠ λ2

1, 2

= 0.

Теорема 2.1 (Свойства нормальных операторов)

Пусть ,

5) = λ, - собственный вектор ,

отвечающий собственному значению

– нормальный оператор, тогда

λ.

- линейное подпространство. По теореме о разложении унитарного

пространства в прямую сумму: =

( ).

1) , :

= , ; 2)

;

Докажем инвариантность относительно и .

3) Если 0 - собственный вектор линейного

оператора

отвечающий

= α = α = αλ

; = α = αλ

собственному значению λ

, то

- собственный вектор ,

отвечающий

собственному значению λ0.

Собственные векторы нормального оператора,

отвечающие различным

1 =

;

, = 0.

, =

, λ

= λ ,

= 0

;

собственным значениям, попарно ортогональны.

, λ

= λ ,

= 0

dim = , -

собственный

вектор ,

то

, где

Теорема 2.2 Оператор , нормален в ОНБ = , … ,

линейная оболочка ,

. Кроме того

- ортогональное дополнение к

- нормальная матрица.

– инвариантные подпространства относительно ,

dim = , =

, … ,

– ОНБ в .

= ,

, =

= ,

. 2) 1). 3) 0 = λ0 0;

λ0

= λ0

нормальная

матрица

(по

теореме

1.5)

= – нормальный оператор.

a) Покажем, что, если - нормальный, то

− λ0

- нормальный, т.к.

− λ0

− λ0 = − λ0

− λ0 = − λ0 − λ0 +

λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 = − λ0 − λ0 + λ0λ0 =

− λ0

= − λ0

− −λ0

= − λ0 −

λ0 .

b) 0

- собственный вектор линейного оператора

− λ0 0 =

т.к.

− λ0

- нормальный оператор (свойство 2):

0 = − λ

− λ

= − λ

−

λ0 0

= λ

собственный

вектор

отвечающий собственному

значению λ0.

ker = ker ,

Следствие 1. Если - нормальный оператор, то

т.к.

нетривиальные векторы являются собственными векторами, отвечающие

собственному значению λ = 0.

Следствие 2. Если - нормальный оператор, то

ker =

im , ker =

im .

Билет 3.9. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерии унитарности

Билет 3.10. Унитарные (ортогональные) матрицы и их свойства. Матрица перехода

от одного ортонормированного базиса к другому

Определение 3.1 Линейный

оператор

, ,

действующий

Теорема 3.2 (Свойства унитарных (ортогональных) матриц)

унитарном пространстве (евклидовом

пространстве

называется

Пусть

- унитарная (ортогональная)

матрица, т.е. = = ( =

унитарным

(ортогональным),

если

= = .

Квадратная

матрица

), тогда

× ( × )

называется

унитарной

(ортогональной), если

1) −1: −1 = = ;

= .

det = 1;

Из определения вытекает: 1) Если – унитарный нормальный

3) столбцы (строки) матрицы образуют ОНБ пространства .

выполняются все свойства нормального оператора.

1) из определения обратной и унитарной матриц.

2) – унитарный в любом ОНБ =

, … ,

- унитарна.

= det ∙ det

= det ∙ det = 1

det

= 1.

, … , : ,

В ОНБ =

унитарна

= по теореме 1.5

в ОНБ =

, … ,

…

3) =

, … ,

, =

= = .

1↓

↓

Теорема 3.1 (Критерий унитарности)

= = δ

В конечномерном унитарном (евклидовом)

пространстве ( )

следующие

↓

строки

(столбы)

утверждения равносильны:

↓

1) - унитаный (ортогональный);2) = ;3) = ;

образуют ОНБ в арифметическом пространстве .

4) , : ,

- сохраняет скалярное произведение;

Лемма 3.3 Условие 3) является не только необходимым, но и достаточным

5) - сохраняет длину, т.е.

;

условием, т.е. -

унитарная матрица строки (столбы)

образуют ОНБ в

6) переводит ОНБ в ОНБ.

1) 2), 1) 3) – очевидно.

арифметическом пространстве .

невырожденный

−1

= −1 =

« » ,

= δ

Положим

−1

= = −1 1).

= ,

3) 1 аналогично.

1) 4)

, .

= δ

Положим

4) 1)

, =

= .

↓

= .

4) 5)

4):

+ 2 −

− 2

+ +

2 −

− 2

- унитарна.

Следствие. Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ в унитарном

2 −

−

2 +

2 −

−

+ 2 −

(евклидовом) пространстве унитарна (ортогональна).

−

2 +

2 −

−

, .

, =

, … ,

, =

, … ,

– ОНБ,

4) 6) Пусть =

, … ,

- ОНБ ,

, = δ

, … ,

→

δ = , =

, =

, =1

– ОНБ .

δ =

= ,

т.к.

Пусть

ОНБ

, … ,

ОНБ

, =1

обратная матрица единственна, то = .

Следовательно,

унитарная

, =

: ,

матрица.

, =1

, . Следствие 1. – унитарен −1 - унитарен.

Следствие 2. 1,

2- унитарные операторы 1

∙ 2 - унитарный.

−1 , −1

= −1 , −1

−1 - унитарный.

= −1

, −1

- унитарный.

2 , 1

= 1 − унитарный

2 , 2

= 2 − унитарный

1 ∙

2 - унитарный.

Билет 3.11. Спектральная теорема для нормальных операторов и норм. матриц

Теорема 4.1
1) Линейный		оператор						, , действующий в унитарном пространстве
dim =		есть нормальный оператор для него существует базис из
собственных векторов.
2) Матрица =					×			- нормальная матрица существует унитарная

матрица	=			, … ,		↓	, столбцами которой		являются	собственные векторы
		1↓				↓
матрицы	:		= λ			, = 1, , приводящая			матрицу в	диагональному виду:
		↓			↓
λ1		0	= .
Λ =			= .

0λ

1) « » Пусть - нормальный оператор.

λ = det − λ - характеристический многочлен оператора (совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе).

Характеристический многочлен λ			имеет хотя бы один корень λ1,				следовательно,
существует хотя бы один собственный вектор 1. Пусть					1	= 1	и 1 = λ1 1.
Тогда по Т 2.1(п.5) =	1	1, 1 =		1 ,dim 1 = − 1, 1			- инвариантно
относительно .
Рассмотрим
\| 1 ; λ2, 2: 2 = λ2 2,	2	= 1, 1 = 2		2, 2 = 2		,dim 2		= −
2, 2 − инвариантно относительно .
Продолжим процесс:	=			…	,	где	, … ,		-
		1	2				1
ортонормированная система векторов, они образуют ОНБ в .

« » Оператор имеет ОНБ из собственных векторов. Тогда матрица оператора

в этом базисе имеет диагональный вид. Тогда

тоже имеет диагональный вид и

. Диагональные матрицы перестановочны

перестановочны операторы

- нормальный

оператор.

2) « » Пусть - нормальная матрица: = ( = );

= , … ,

- произвольный ОНБ ;

- нормальный оператор: = .

Из 1)

ОНБ

из собственных векторов

, … ,

оператора

λ1

, = 1, и

имеет в диагональный вид:

= Λ =

- матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ -

унитарная

→

матрица: = −1

= Λ = .

« » Пусть = Λ, где - унитарная матрица.

= λ

, = 1, .

↓

Докажем, что - нормальная матрица.

= Λ = Λ , = Λ =

Λ = Λ ,

= Λ Λ = ΛΛ , = Λ Λ = Λ Λ .

Λ - диагональная матрица: ΛΛ = Λ Λ = - нормальная матрица.

Билет 3.12. Самосопряженный оператор и его свойства. Эрмитовые

Билет 3.13. Связь между нормальным, самосопряженным и унитарным оператором.

(симметрические) матрицы.

Определение 5.1 Линейный оператор

действующий в

унитарном

Теорема 5.2

(евклидовом) пространстве называется самосопряженным, если

= .

1) – самосопряженный - нормальный оператор и все собственные

Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют

значения этого оператора вещественны.

эрмитовым, в евклидовом – симметрическим. Квадратная матрица

- унитарный оператор – нормальный оператор и все собственные

называется

самосопряженной,

если

= ,

т.е.

= . Комплексную

значения по модулю равны единицы, т.е.

= 1, .

самосопряженную

матрицу

называют эрмитовой,

вещественную

–

1) « » Т 5.1

симметрической.

« » - нормальный оператор; :

= λ

, λ

Теорема 5.1 (свойства самосопряженных операторов)

Из основной спектральной теоремы существует ОНБ из собственных

1) Самосопряженный оператор – нормальный ( удовлетворяет свойствам

векторов: , … , .

нормальных операторов Т2.1).

, =

2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

, =

λ δ

3) - самосопряженный оператор в любом ОНБ

- эрмитова

, =1

= λ

λ δ =

λ , =

, =1

матрица.

= .

4) det

- нормальный оператор.

« » -

унитарный –

нормальный. = λ,

= 1 =

= =

λ = λ

= λ .

= λ λ ,

= λ,

, λ

« » – нормальный

оператор

= 1, существует

ОНБ

из

λ , λ .

эрмитова матрица, т.е.

в любом ОНБ

собственных векторов:

, … , .

2 =

det

= det ∙ det

λ ,

λ =

2 =

= det ∙ det = det ∙ det

det = det det .

2 – унитарный.

Билет 3.14. Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых

Билет 3.15. Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц.

(симметрических) матриц.

Теорема 6.1

Теорема 6.3

Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве

dim =

- унитарный существует ОНБ из собственных векторов и : λ = 1.

самосопряжен существует ОНБ из собственных векторов и все собственные

« »

– унитарный -

нормальный и : λ

= 1 существует

значения – вещественны.

ОНБ из собственных векторов.

« » - самосопряженный по Т5.2 - нормальный и : λ по Т4.1

« » Существует ОНБ из собственных векторов - нормальный и : λ = 1

(основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных векторов.

– унитарный.

« »

Существует ОНБ из собственных векторов по

Т4.1 - нормальный и

: λ – самосопряженный.

Теорема 6.4

Матрица

унитарна

существует

унитарная

матрица

Теорема 6.2

↓

, …

: = ,

= λ

, λ

= 1.

Матрица =

- эрмитова

все собственные

значения

матрицы

↓

- унитарна

любом

ОНБ

, … , : =

унитарный

вещественны и существует унитарная матрица =

, …

, столбцы которой –

↓

оператор - нормальный и : λ

= 1 существует

унитарная матрица

↓

собственные векторы матрицы , отвечающие собственным значениям λ

= .

λ1

↓

Каноническая форма матрицы унитарного оператора.

, λ

, = Λ = .

- унитарный оператор существует ОНБ из собственных векторов:

↓

λ1

эрмитова матрица для

любого ОНБ

, … ,

: =

, λ

= 1, = 1, .

самосопряжен - нормален и : λ

нормальная матрица

: λ – унитарная матрица: = .

Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.

Замечание. Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства.

Если - ортогональный оператор det = ±1, λ = ±1.

В ОНБ

= - ортогональная матрица,

т.е. −1 = .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 3 семестр экзамен

#
10.05.20141.08 Mб25Algebra_1_razdel.pdf
#
10.05.2014686.64 Кб27Algebra_2_razdel.pdf
#
10.05.2014806.96 Кб35Algebra_3_razdel.pdf