3 семестр экзамен / Algebra_3_razdel

Билет 3.16. Положительно определенные операторы. Представление

Билет 3.16. Положительно определенные операторы. Представление

невырожденного оператора в виде произведения самосопряженного и унитарного

невырожденного оператора в виде произведения самосопряженного и унитарного

(ортогонального) операторов

(ортогонального) операторов

Определение 8.1 Самосопряженный оператор называется положительно

Теорема 8.3 Всякий невырожденный линейный оператор может быть

определенным,

если

для

,

> 0

и

неотрицательно

представлен в виде = ∙

(или 1 ∙ 1), где

1

- положительно

определенным, если

,

≥ 0.

определенный оператор,

1

- унитарный оператор.

Пусть в задан ОНБ: =

,

тогда

,

-

эрмитова квадратичная

Пусть

-

невырожденный

оператор

невырожденный

=1

форма от переменных

, … , ,

причем, если

- положительно определен,

положительно определенный оператор. Положим

=

1

то , положительно

определена (аналогично для неотрицательно

невырожденный

положительно

определенный

оператор.

Положим

=

определенного оператора ).

−1 . Покажем, что

–

унитарный:

= −1 −1 =

Теорема

8.1

-

самосопряженный оператор

является

положительно

−1 −1

= −1 2 −1

=

(

положительно

определенный

определенным (неотрицательно определенным) все его собственные

самосопряженный).

значения положительны (неотрицательны):

λ

> 0

λ ≥ 0 .

Определение

8.3

Эрмитову матрицу =

назовем

положительно

- самосопряженный оператор

существует

ОНБ

из

собственных

определенной (неотрицательно определенной), если эрмитова квадратичная

векторов

и

λ

:

= λ

=

,

=

форма

с матрицей

в некотором базисе

положительно определена

2

=1

λ ,

=

λ

> 0 ≠ λ

> 0.

(неотрицательно определена).

=1

=1

=1

Пусть – положительно определенный оператор (неотрицательно

Из спектральной теоремы для эрмитовых матриц следует, что существует -

определенный), существует ОНБ из собственных векторов =

, … ,

и

λ1

0

1

унитарная матрица: Λ = , Λ =

λ

> 0:

= λ

. Положим μ

=

λ

и определим линейный оператор

, λ

≥ 0, .

= 2,

:

= μ

-

самосопряженный

оператор,

и

0

λ

положительно определенный (неотрицательно определенный).

λ1

0

Определение 8.2

Положительно определенный оператор

, связанный с

Определение

8.4

Матрицу =

называют

корнем

равенством

2 = ,

называется арифметическим корнем из оператора и

0

λ

обозначается =

.

квадратным

из

положительно

(неотрицательно)

определенной матрицы

Теорема 8.2 Для любого

есть

неотрицательно

: =

.

определенный

оператор

и,

если

- невырожденный,

то

и

-

невырожденный оператор.

Замечание. – положительно определенная матрица ( эрмитова).

1) ,

= , =

,

-

самосопряженный

оператор;

, =

,

≥ 0,

неотрицательно

определенный оператор.

2) Пусть - невырожденный -

обратим матрица оператора в

любом базисе невырожденная в любом ОНБ det ≠ 0,

=

, det

= det ≠ 0

- невырожденная оператор

невырожденный оператор

невырожденный.

Билет 3.17. Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду.

Билет 3.18. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных

форм

Пусть в унитарном (евклидовом) пространстве ( ) задана эрмитова

Дано: ,

и ,

эрмитовы квадратичные формы dim = .

квадратичная форма ( , ).

Задача: найти невырожденное преобразование координат, одновременно

Теорема 7.1 Любая эрмитова квадратичная форма ( , ) с матрицей при

приводящее эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду.

помощи некоторого унитарного преобразования переменных ↓ = ↓, где

Замечание. В общей постановке эта задача не всегда имеет решение.

- унитарная

матрица,

может

быть

приведена

к каноническому

виду:

Теорема 9.1 (достаточное условие разрешимости поставленной задачи)

,

= λ

2

+ + λ

2

,

где : λ

и с точностью до порядка

Пусть

,

и

,

эрмитовы

квадратичные

формы

в

комплексном

1

1

,

> 0, ≠ . Тогда

=

определены

матрицей

однозначно

(они

совпадают

с

собственными

пространстве,

причем

существует

базис

значениями

матрицы

).

Столбцы

унитарной

матрицы =

, …

-

, … ,

,

в котором ,

и ,

имеют канонический вид: ,

=

↓

↓

1

1

λ

2 , ,

=

2, где =

.

нормированные собственные векторы матрицы , отвечающие собственным

=1

=1

=1

значениям λ

:

= λ

, = 1, .

Рассмотрим полуторалинейную форму

, ,

полярную к эрмитовой

↓

↓

квадратичной

форме

, .

В

введем

скалярное

произведение

с

Рассмотрим полярную полуторалинейную форму ,

к эрмитовой

помощью , :

, = , . Рассмотрим с введенным скалярным

форме , . ,

определена однозначно (п.9, раздел 2). Для любой

произведением – это унитарное пространство. Тогда существует унитарное

, существует единственный линейный оператор

: ,

=

преобразование

(п.7),

приводящее

эрмитову

квадратичную

форму

к

,

, , и в любом ОНБ :

0

=

(п.7,

раздел

3). ,

-

каноническому виду: ,

=

λ

2. Т.к. – унитарная матрица (

0

0

эрмитова полуторалинейная форма ,

= ,

=1

матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ) = , … ,

- ОНБ и

,

= ,

= , =

,

=

, ,

т.е.

,

=

,

2

1

,

=

,

=

,

где

=

.

- самосопряженный оператор: = .

=1

=1

Определение 9.1 Пучком квадратичных форм, определенным парой ,

Рассмотрим

.

Согласно спектральной

теореме для

самосопряженных

и , , называется совокупность

форм

, − λ , ,

где

λ

-

операторов (Т6.1) существует ОНБ из собственных векторов оператора :

параметр. Если ,

> 0, ≠ , то пучок называется регулярным.

= λ , λ , = 1, .

Определение 9.2

Пусть и -

матрицы ,

и ,

в некотором

=

, =

=

λ .

базисе.

Уравнение

det − λ

= 0

называется

характеристическим

=1

=1

=1

, = , =

,

λ

=

λ , =

уравнением пучка ,

− λ , .

2 .

=1

=1

=1

λ

Если

λ0

-

какой-нибудь

корень характеристического

уравнения, то ↓ ≠

=1

Матрица =

унитарна, как матрица перехода от одного ОНБ к другому

↓: ↓ = λ0 ↓.

Определение

9.3

Число λ0, удовлетворяющее

0→

Λ =

ОНБ. Рассмотрим матрицу

:

.

= Λ =

= ∙

∙

характеристическому уравнению пучка,

называется собственным значением

=

0

0

0

0

пучка, ↓ ≠ ↓ называется главным вектором пучка.

.

0

=

Теорема 9.2

Пусть

,

и

,

-

эрмитовы

квадратичные

формы,

Замечание. В евклидовом пространстве:

.

0

,

> 0, ≠ .

Тогда

существует

невырожденное

преобразование:

=

с матрицей

=

↓

, … ,

↓

,

где

, … ,

- главные векторы –

↓

↓

1

1↓

↓

столбцы

пучка

,

− λ , ,

ормированные

в

смысле

скалярного

произведения

, = ,

( ,

- полярная полуторалинейная форма

к эрмитовой форме , ),

т.е.

,

=

,

= δ

,

приводящее

↓

↓

↓

↓

эрмитовы

квадратичные

формы

к

каноническому

виду: ,

=

λ

2,

,

=

,

=

2 , λ , … , λ

- собственные значения

=1

=1

1

пучка

,

− λ , ,

соответствующие

столбцам

матрицы

=

↓

, … ,

.

1

↓

1) Покажем, что все λ1, … , λ пучка ,

− λ , вещественны и им

соответствует линейно независимых главных векторов

↓

, … ,

:

=

1

↓

↓

λ

, которые могут быть выбраны так, что

,

=

,

= δ .

↓

↓

↓

↓

↓

Рассмотрим

= λ

−1

= λ

.

Обозначим = −1 Т.к.

↓

↓

↓

↓

,

– положительно определенная квадратичная форма матрица –

положительно

определена.

Рассмотрим

матрицу

=

: = ∙

−1 = ∙ −1 = −1 −1.

Перепишем

которой являются собственные векторы-столбцы матрицы :

= λ

и