Лекции по линалу

Пусть

. Выберем базисы в

и в

. Построим

отображение

таким образом, что

(т.е. вектор имеет

отображения выполняется, следовательно, - изоморфизм.

Следствие. Любое

-

мерное вещественное пространство

изоморфно

арифметическому

пространству

; любое

- мерное комплексное пространство

изоморфно

арифметическому

пространству .

1. Любая линейно независимая система из

- линейно независима в .

2. Если

не совпадает с

, но

,

следовательно, если

- базис в

, то он

является базисом и в

, следовательно,

есть линейная комбинация векторов

и

противоречие.

Следствие. Если

, то совпадает с .

Пример задания ЛПП:

- ЛПП .

Определение 13.1 Пусть

- система векторов ЛП

над полем

. Линейной оболочкой

системы

векторов

называется

множество

всех линейных комбинаций этих векторов:

Говорят, что линейная оболочка натянута на векторы

.

Теорема 13.2

- ЛПП .

Теорема 13.3

равна максимальному числу линейно независимых векторов в

системе

.

Пусть

- максимальное число линейно независимых векторов в системе

. Следовательно,

-

линейная комбинация

;

линейная

комбинация

. Следовательно,

-

линейная комбинация

, ,

- базис в

.

21

Теорема 13.4 (о неполном базисе)

Пусть система

- мерного ЛП линейно

независима. Тогда существуют

(пространства ) такие, что

образуют

базис .

Если

, , очевидно. Если

не совпадает с

(

не является линейной комбинацией

)

- линейно

независимы. Если

,

то процесс завершен. Если

, то за

шагов отберем все элементы

- линейно независимы, ,

образуют базис.

14. Сумма и пересечение подпространств.

Определение 14.1 Пусть

и

- линейные подпространства ЛП . Суммой подпространств

и

называется совокупность элементов, представимых в виде:

.

Пересечением

подпространств

и

называется совокупность

элементов, входящих

одновременно в

и

:

.

Замечание:

всегда не пусто, т.к.

.

Теорема 14.1 Пересечение

и сумма

ЛП

являются линейными подпространствами

ЛП .

Теорема 14.2

(о

размерности суммы

двух

подпространств)

.

Пусть

и

. Построим

- базис в

.

Т.к.

, следовательно, по теореме о неполном базисе,

дополним до базиса

Т.к.

, следовательно, по теореме о неполном базисе,

дополним до базиса

Покажем, что

- базис в

.

А) Упорядоченная система векторов.

Б) Линейно независима. Докажем от противного.

Пусть линейно зависима, ,

(нетривиальная комбинация):

.

Рассмотрим некоторый элемент

можно

разложить по базису

пересечения

:

. С другой стороны

22

. В силу единственности разложения по базису имеем:

, ,

, , противоречие,

т.к.

–

базис в

- линейно независимы.

В)

- линейная комбинация

,

-

линейная

комбинация

следовательно,

-

выражается

через

- базис в

.

15. Прямая сумма подпространств. (ЛП V)

Определение 15.1 Сумма подпространств

называется прямой суммой этих подпространств,

если

может быть единственным образом представлен в виде:

, где

этих подпространств было нулевым, т.е.

.

█ « »

.

Пусть

Запишем

имеем еще одно представление нулевого вектора

, кроме

, в виде

суммы двух элементов из

и , , противоречие , ,

.

« »

и

- не прямая. Разложим

пересечение содержит ненулевой вектор, , противоречие. █

Теорема 15.2

.

Теорема 15.3 Если

, то сумма - прямая:

.

Определение 15.2 Пусть

(ЛПП ЛП

). Подпространство

называется дополнительным

подпространством к

, если

.

Теорема 15.4 Для любого подпространства

существует дополнительное подпространство .

█ Если

, если

.

Пусть

и

- базис в . Дополним его до базиса в

:

.Рассмотрим

, т.к.

.█

Пусть

- ЛП над общим полем .

Определение 16.1 Отображение

называется линейным отображением пространства

в

пространство

, если

:

.

Обозначение:

(

- матрица),

- образ вектора .

Линейное отображение так же называют линейным оператором, действующим из пространства

в

пространство .

Если

, то линейное отображение называют линейным преобразованием пространства в себя,

линейным оператором, действующим в .

Если

, то линейное отображение называют линейной формой или линейным функционалом в

пространстве . Обозначение – строчной буквой:

.

Множество всех линейных операторов, действующих из

в обозначаем

.

Определение 16.2 Операторы

и

называются равными, если

.

Примеры.

1.

(многочлены степени не выше ).

- оператор дифференцирования.

.

2. Пусть

.

-

оператор

проектирования

пространства

на

параллельно .

3.

.

- называется нулевым оператором.

4.

.

- называется тождественным оператором.

5.

– изоморфизм линейных пространств

– линейный оператор.

Простейшие свойства.

1.

– линейный оператор переводит нулевой элемент

в нулевой элемент

:

.

2.

Линейный оператор сохраняет линейные комбинации, т.е. переводит линейную комбинацию

векторов пространства в линейную комбинацию пространства

с теми же коэффициентами:

, где

.

3.

Линейный оператор сохраняет линейную зависимость, т.е. линейно зависимые векторы переходят

в линейно зависимые.

█

-

линейно

зависимы,

следовательно,

(нетривиальная

комбинация):

. █

24

Задание линейного оператора.

Из свойства 2 следует, что для задания линейного оператора

достаточно определить

его только на векторах

некоторого базиса пространства

. Зная векторы

,

можно однозначно найти образ любого вектора

.

Теорема 16.1 Пусть

- базис ЛП ,

- произвольные векторы пространства

. Тогда

существует и притом единственный линейный оператор , который переводит векторы

в

векторы

соответственно.

Построим оператор

1. Т.к. разложение по базису единственно, , образ вектора

определяется однозначно и

2. Линейность оператора вытекает из линейности координат.

3. Докажем

единственность. Пусть

17.

Матрица линейного оператора.

Пусть

- базис

,

- базис .

-

однозначно определен заданием

.

В свою очередь

-

однозначно определяются своими координатами в базисе

:

.

Определение 17.1 Матрица

называется матрицей оператора

в паре

базисов и .

Обозначение:

или

.

Из единственности разложения по базису следует, что

определяется однозначно.

Теорема 17.1 Пусть

. Тогда существует взаимооднозначное соответствие

между линейными операторами из

и матрицами

.

Построим это соответствие. Зафиксируем базисы

и

пространств

.

1.

– матрица линейного оператора:

(в силу теоремы

16.1 такой оператор существует) отображение сюръективно.

2.

если операторы из

не совпадают на базисных векторах, , имеют разные матрицы, ,

свойства операторов через аппарат теории матриц.

Пусть

- базисы в

и .

Теорема 17.2 (координаты вектора и его образа) Если

, то

.

;

(единственность

разложения

по базису)

Теорема 17.3 (матрицы оператора в различных базисах) Пусть

и – два базиса ЛП

,

где

.

и

– два базиса ЛП

, где

.

Матрицы

линейного

оператора

и

в

различных

парах

базисов связаны

соотношением:

.

;

.

Рассмотрим

. Т.к. равенство имеет место

для

.

Следствие 1. Матрицы линейного оператора в различных базисах эквивалентны.

Следствие 2. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Имеет место более общее утверждение.

Теорема 17.4 Две матрицы

эквивалентны они являются матрицами одного и того

же линейного оператора

, где

ЛП над полем

.

« » (теорема 17.3)

« » Пусть

,т.е.

.

Рассмотрим любые ЛП над полем

:

. Выберем в

базис

, в

базис . В

силу взаимооднозначного соответствия между

и

(теорема 17.1)

-

матрица оператора

в паре базисов

и

.

Тогда

- будет матрицей

оператора в паре

и

.

26

18. Линейное пространство операторов.

На множестве

введем операции сложения операторов и умножения на число

.

Определение 18.1

Суммой линейных

операторов

называется

отображение

, такое, что

.

Обозначение:

.

Итак,

.

Определение 18.2 Произведением линейного оператора

на число

называется

отображение

, такое, что

.

Обозначение:

.

Итак,

.

Теорема 18.1 Для

и

:

.

Определение

18.3

называется оператором, противоположным

оператору , и обозначается:

.

Теорема 18.2

Множество

- линейное пространство над полем относительно введенных

3.

(нулевое отображение)

4.

5.

6.

7.

8.

Теорема 18.3 (об изоморфизме

и пространства матриц ) Если

, то ЛП

изоморфно пространству

.

Зафиксируем

- базис в

,

- базис в . Построим отображение

- взаимооднозначно (см. теорема 17.1):

. Покажем, что

сохраняются законы композиции, т.е.:

.

Пусть

19. Произведение линейных операторов.

Пусть

- ЛП над .

Определение 19.1

Произведением линейных операторов

называется

отображение

, выполняемое по правилу

.

Обозначение:

.

Итак,

.

Теорема 19.1 Если

, то

.

Линейность

проверяется непосредственно:

1.

(ассоциативность)

2.

3.

(дистрибутивность)

Произведение операторов некоммутативно:

.

А) об этом можно было бы говорить, только для

.

Б)

Рассмотрим

- проектирование на

,

- поворот на

:

.

20.

Обратный оператор.

Определение 20.1 Пусть

.

Отображение

называется обратным оператором к

оператору , если

. Если

, то

называется обратимым.

Теорема 20.1 Если

обратим, то 1)

, 2)

- единственен.

1)

.

2) Пусть

и

- обратим

Теорема

20.2

(Критерий

обратимости

линейного оператора.)

- базис

.

« »

-

обратим

.

.

Пусть - базис в

.

« » Пусть

=

Следствие 1.

.

Следствие 2. Если

- базис

, в котором

- невырожденная

, то для

любого базиса

в

- невырожденная.

Следствие 3.

– обратим - биективен.

29

- обратим.

4. Оператор поворота на угол .

,

, - обратим.

21. Образ и ядро линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте.

Определение 21.1 Образом линейного

оператора

называется множество

; ядром оператора

– множество

.

Примеры.

1.

- оператор дифференцирования.

.

2.

Пусть

.

-

оператор проектирования пространства

на

параллельно .

.

3. Оператор поворота на угол .

Теорема 21.1 Если

, то

- ЛПП ЛП ,

- ЛПП ЛП .

Определение 21.2

Рангом линейного оператора называется размерность его образа:

; дефектом линейного оператора – размерность его ядра:

.

Теорема 21.2 Если

- базис , то

.

30