Лекции по линалу

« »

, где

, т.е.

. █

Теорема 21.3 Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

█

максимальному

числу линейно независимых

векторов

, которое совпадает с рангом системы арифметических векторов, составленных

из координат этих векторов в базисе

пространства

, т.е. с

:

█

Теорема 21.4 (теорема о ранге и дефекте) Если

, то

█

Пусть

,

- базис

. Дополним его до базиса

:

.

Докажем,

что

- линейно независимы. От противного. Пусть

(нетривиальная

комбинация) такая,

что:

линейно выражаются через базис

-

противоречие,

т.к.

– базис .

.

Если

- базис

аналогично. █

Теорема 21.5 Пусть

Тогда существуют базисы

и

пространств

и

,

в

которых

матрица

оператора

имеет

вид