Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Лекции по ЛинАл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

501.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

) λ x + λ y = λ ( x1 , , xn ) + λ ( y1 , , yn ) = (λ x1 , , λ xn ) + (λ y1 , , λ yn ) = = (λ x1 + λ y2 , , λ xn + λ yn ) .

% , ) = ) 8) – .

. n .

§8. # $ $

% L – . % f1 , , fm – L .

+ : = { f1 , , fm } % . "

. ", f1 = f5 .

λ1 f1 + + λm fm , λ1 , , λm – ,

f1 , , fm . , λ1 = λ2 = = λm = 0 ,

, 0 f1 + 0 f2 + + 0 fm = 0 . *

. $ ,

f1 , , fm ',

λ1 , , λm ,

λk

> 0

( ),

k =1

λ1 f1 + λ2 f2 + + λm fm = 0

(8.1)

, - (8.1)

λ1 = λ2 = = λm = 0 , f1 , , fm

,. ) f1 , , fm ' ( ' * (

$ (.

'' '' %

f1 , , fm – , λ1 f1 + λ2 f2 + + λm fm = 0 ,

λk

> 0 . %

k =1

≠ 0 j f

λj −1

λj +1

= −

− −

−

− −

, f

j −1

j +1

λj

'' '' % - , fk ,

fk = α1 f1 + + αk −1 fk −1 + αk +1 fk +1 + + αm fm

α j .

α1 f1 + + αk −1 fk −1 + (−1) fk + αk +1 fk +1 + + αm fm

= 0 –

fk (−1) ≠ 0 . (,

f1 , , fm

f1 , , fm ', g $ '

f1 , , fm : g = α1 f1 + + αm fm . % g

. % g = β1 f1 + + βm fm –

α1 f1 + + αm fm = β1 f1 + + βm fm (α1 − β1 ) f1 + + (αm − βm ) fm = 0 . " f1 , , fm

α1 − β1 = = λm − βm = 0 , α1 = β1 , ,αm = βm .

(, g .
. .
1. ,	f1 , , fm ,	f1 , , fm .
. %	f1 = 0 , 1 f1 + 0 f2 + + 0 fm = 0 –

( ). (, f1 , , fm

.
2. ,		f1 , , fm ,				f1 , , fm .
. %			f1 = f2 1 f1 − 1 f2 + + 0 fm = 0 f1 , , fm .
3. ,		f1 , , fm	fk , , fk		,
			1		j
	f1 , , fm .					j
. % , λ1 fk + + λj fk					= 0,		λi	> 0. .
. % , λ1 fk + + λj fk					= 0,		λi	> 0. .
			1	j

i=1

, . % . (, f1 , , fm .

#. " f1 , , fm ', / %

& .

% L = n . & :

e1 = (1, 0, 0, 0) , e2 = (0,1, , 0, 0) , , en−1 = (0, 0, ,1, 0) , en = (0, 0, , 0,1) . (

1.e1 , , en ;

2.x n e1 , , en .

1. % α1e1 + + αn en = 0.

! α1e1 + + αn en = α1 (1, , 0) + + αn (0, ,1) = (α1 , ,αn ) = (0, , 0) ( ).

0 n , , α1 = α2 = ... = αn = 0 .

(, e1 , , en – .

2.% x = ( x1 , x2 , , xn ) x = x1e1 + x2e2 + + xn en , (

e1 , , en ).

. ( 1-2 , e1 , , en – ' n .

§9. %

% = { f1 , , fm } – L . "

. & r

. ( fk1 , , fkr

. r = rank = rank{ f1 ,..., fm } – . (

rang ).

0 ≤ r ≤ m . % ,

rank =0 ( r = m , ).

6 .

fk1 , , fkr

– r .

' $ ' ( .

fd – ( fk1 ,..., fkr ).

fd , fk1 ,..., fkr

– ( . . fk1 ,..., fkr –

). * β fd

+ α1 fk1 + ... + αr fkr = 0 , (

β ≠ 0 ,

fk1 ,..., fkr

). (

= −

α1

−

α2

− ... −

αr

– .

k 2

* , ,

« - »,

. & % ' (2%) = { f1 ,..., fm }

: I). % ;

II). ) ;

III). % ,

: 2% ' . 2 , '

→

(

' ).

. ' % ' % % * (

2%
% ' ( → ' ), $ $ % ' '
% * ( % '	2%
	( ' → ) ( . . & ,

$ &).

. & :

I)	% . , ' ,
' .
II)	) . , ' fk
λ ≠ 0 , '			λ fk	1	≠ 0 .

				λ
III)	% . , ' fk λ fd
( d ≠ k ), ' fk + λ fd (−λ) fd .
IV)	. , ' 2%,
' 2%,
( ):		2%12%2 ...2%j-12%j	2%-j12%-j1-1 ...2%1-1
		→ ' → .

* ( §9). 2%→ ' , rank = rank ' ( . .

* % ' ).

.	% ,
	- , . . rank ' ≥ rank . % rank = r fk1 , fk 2 ,..., fkr –

. , 2% , -

rank ' ≥ rank . 8 , 2%

% . % , fk1 ,..., fkr

' , , , . 0

. (, rank ' ≥ r ( - ).

II)

) . %

fk1

λ ≠ 0 . '

λ fk1 , fk 2 , , fkr . & - :

α1 λ fk1 + α2 fk 2 + + αr

fkr

= 0

(α1λ) fk1 + α2 fk 2 + + αr

fkr

= 0 ,

fk1 , ,

fkr . ( α1λ = α2

= = αr , λ ≠ 0 ,

α1 = α2

= = αr , λ fk1 ,

fk 2 , , fkr

. * ,

rank ' ≥ r .

III)

% . % fk

λ fd ( d ≠ k ), λ ≠ 0 .

* ' (λ fd + fk1 ),

fk 2 , , fkr , r - , ,

, . % (

). *: α1 (λ fd + fk1 ) + α2 fk 2 + + αr fkr

= 0 ,

α j

> 0 . ! α1 ≠ 0 ( . .

j =1

fk 2 , , fkr

, . .

= −λ f

−

α2

−

α3

− −

αr

(9.1)

k 2

α1

% ,

fd ,

fk 2 , , fkr .

% , . :

β1 fd

+ β2 fk 2 + + βr

fkr

= 0 ,

β j

> 0 . ! β1 ≠ 0 (

fk 2 , , fkr

j =1

β2

βr

= −

− −

(9.2)

k 2

β1

% (9.2) (9.1). *

fk1

fk 2 , , fkr (

). % 0 §8,

fk1 , fk 2 , , fkr

. 2 , , - .

, fd , fk 2 , , fkr . $ r - ' .

( rank ' ≥ r .

				2%
$ I), II) III) , → ' , rank ' ≥ rank . "
2%: '			2%
		→ , rank ≥ rank ' .
* rank = rank ' .
.
% g , g	, , g	m	– n . * .
1 2

!- gk = (ak1 , ak 2 , , akn ), k = 1, m . ( :

= g

% 2%

A = a21

a22

a2 n = g2

am1

amn = gm

am 2

- ,

0 0 a1′k1

* a1′k2

* a1′kr

* = g′

0 0

0 a′

* a′

= g′

2 k2

2 kr

A′ =

′

= g′

0 ark

= g′

! 1 ≤ k < k

< < k

≤ n,

r ≤ m, a′ ≠ 0,

a′

≠ 0,

, a′

≠ 0 .

1k1

2 k2

rkr

, k1 = 1 , .

, r = m , .

g′, g′

, , g′

g , g

, , g

2%. (,

g′, g′

, , g′

., α g′ + α

′

+ + α

g′ = 0 .

1 1

& k1 , k2 , , kr .

k1 :

α1 a1′k

= 0 , a1′k ≠ 0 ( ), α1 = 0 .

0 a′

+ α

a′

= 0 , a′

≠ 0

( ), α

= 0 .

1k1

2 k2

. .

0 a′

+ 0 a′

+ + 0 a′

+ α

a′

= 0 , a′ ≠ 0

( ), α

= 0 .

1k1

2 k2

( r −1) k( r −1)

rkr

$ , , α1 = α2

= = αr

= 0 .

3.1 ( r +1 ) A′ ,

$ 1, 2 3 , g , g	2	, , g	m	g′, g′	, , g′
1	2		m	1 2	m

r .

. &

# .

% gk		= (ak1 , ak 2 , , ak n ) , k = 1, 2, , n – n . '
. &
	a	a	a	= g
	11	12	1n	1
A = a21		a22	a2 n	= g2 .
( n×n)
				= gn
	an1	an 2	ann	= gn

( ). ) g1 , g2 , , gn ' det A = 0 .

. '' '' % g1 , g2 , , gn

. ", gn = α1 g1 + α2 g2 + + αn−1 gn−1. gn

α1 g1 + α2 g2 + + αn−1 gn−1 . % ,

,				det A = 0 .
'' ''	% det A = 0 . % # A 2.%. :
a1 j1		*	*		= g′
						1
						1
	0	a2 j		*	= g	′	r ≤ n − .
A′ =		2				2
A′ =


	0	0	arjr		= g	′
	0	0	arjr			r


2.%.	, det A = 0. A′
( ,
). r < n	rank { g1′, , gn′} = r < n. " 2.%. .
rank { g1 , , gn } = rank { g1′, , gn′} = r g1 , , gn .

#. ) g1 , , gn ' det A ≠ 0.

. .

§10. & %

& A = A = (ai j ) . :

( m×n )

a11

A = a21

am1

! f1 ,

f2		fn
a	a		= g
12		1n	1
a22	a2n		= g2	.

			= gm
am 2		amn
f2 , , fn		– - A , g1 , g2 , , gn – - .

. & - ' (

A ) rank A . & -

( ) rank A .

"- – , rank A = rank A A.

1 ( ). A 2.%. → A′ . rank A′ = rank A

rank A′ = rank A ( . . 2.%. .)

I.rank A′ = rank A ( . §9.) .

II. % , rank A′ = rank A . %

\ - :

a x + a x + + a

x = 0,

a x + a x + + a x = 0,

( Ax = 0) .

(10.1)

+ am 2 x2 + + amn xn = 0.

am1 x1

!- (10.1) :

a21 x + a22 x + + a2n x =

. . x f + x f

+ + x f

= 0.

1 1

am1

am 2

amn

( (10.1) - x1 = λ1 , ,

xn =

λj

λn

> 0

j =1

f1 , f2 , , fn

. &

f j ,

f j , ,

f j

. (

f j

, f j

, , f j

λj

f j

+ λ j

f j + + λjk

f jk

= 0 ,

λji

> 0

i=1

( (10.1) - x j

= λj

x j

= λj

, x jk

= λjk .

xi = 0 . " 2.%. - .

(, 2.%.

. (, 2.%.

2 ( ). 0 A ( A = A ) % : rank A = rank A .

( m×n)

. ( 2.%. # A :

				f	′	f ′	f ′
					j1	j2	jr
		0		1 * 0			0 *
				0 * 1			0
			0	0 * 1			0	*
′			0	0		* 0	0	*
′	=								r.
A	=			0			0		r.
			0	0		* 0	0	*


				0		* 0	1
		0		0		* 0	1	*

% 1 , . . rank A = rank A′ = r (

). , rank A = rank A′ ≥ r , . .

f j1 , f j2 , , f jr . % , -

( ). ( 2.%. A′

		f ′′		f ′′		f ′′
		j1		j	2	jr
0		1	0	0		0	0
0		0 0 1				0 0
	0	0	0	0		0	0
A′′ =	0	0	0	0		0	0



0		0 0		0		1	0

( f j′1

, f j′2 –

. .

2% . ( rank A′ = rank A′′ , rank A′′ = r ,

f ′′	, f ′′	, ... , f ′′	– , – .
j1	j 2	jr
$ , rank A = rank A′ = r = rank A′′ = rank A′ = rank A . * .

. % - (

6), f ′ , f ′ , , f ′ . 2 .
					j1	j2	jr
( f ′ ,		f ′ , , f		′
j1		j2		jr
A′	(	rank	A′	)	, . . . (,			f ′ , f ′ , , f ′ –
	(			)				j1	j2	jr
			f1′,		f2′, , fn′ . %
A :						A ,
A A′ .

. . A m × n ( A = ( mA×n ) ),

rank A = rank A = rank A,

. % 2 .

. ( . ", ,

& - .

I. # ( ). & :

( A A .

a x + a x + + a x = b ,
11 1		12 2	1n n		1
a	x + a x + + a			x = b ,
	21 1	22 2		2n n	2

am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm .

+-+. rank A = rank A .

. ( 2% A :

	0		0 1	* 0	* 0		*	*
	0		0 1	* 0	* 0		*	*
			0		*
		0	0	0 1	*		*	*
A′	=	0	0		0	0	*	*	r
										A′.
	0					1	*	*
	0					1	*	*
	0		0				*	*

* rank A′ = rank A . $ rank A′			= rank A			( 2.%. ).

( - :
(		br′+1 = br′+2	= = 0 ( ). +
	A′ A′				rank A′		= rank A′ . %

rank A		= rank A′		= rank A′ = rank A.

II. # (. n ).
( n ). gk						= (ak1 , ak2 , , akn ), k =			– n .
								1, m

" m > n , g1 , , gm n '.

. % m > n . :

a	a	a	= g
11	12	1n	1
A = a21	a22	a2n	= g2 .

			= gm
am1	am 2	amn	= gm

rank A = rank A ≤ n ( ).

(, g1 , , gm n . " m > n g1 , , gm

. n n ( ),

- .

! .

§11. ' $

. % L – , ε L . ( ε = (e1 , , en )

' L ,

I.e1 , , en .

II.f L f = λ1e1 + + λn en

λ1 , , λn .

) I,II '. $

f f = λ1e1 + + λn en λ1 , , λn (

8 §8.) .

( , ). e1 , , en % ' L

f ' % f = λ1e1 + + λnen .

e1 , , en – ' L .

. " I. & 0 – . % , 0 = λ1e1 + + λn en . * λ1 = = λn = 0 ( )

( ) e1 , , en .

$ , e1 , , en –		L , e1 , , en –
' L . * e1 , , en		– ,
e1 , , en , f – f L ( 0).
* :
.	L = {0}. ! , . .		f = 0 .
.	L - e1 , , en . * L –
	.
.	L ≠ {0} , L . *
	e1 , , en en+1
	. * .

8 . "- – ,

" ( ). L

– % ' e1 , , en . "

m > n

(m, n ) ,

m * L '.

% m > n g1 , , gm – L . &

= ak1e1 + ak 2e2 + + aknen ,

: gk

k = 1, m

( aij – ). ( :

! gˆ

, , gˆ

= g

A = a21

a22

(

a2n = g2 ,

g1 , , gm L).

= gˆm

am1

am 2

amn

rank A = rank

A ≤ n . " m > n

gˆ

, , gˆ

n .

% αk gˆk = 0 α1 , ,αm ,

αk

> 0 .

k =1

& g1 , , gm

α1 , ,αm :

α1 g1 + α2 g2 + + αm gm = αk gk = αk

akj e j

αk akj e j

k =1

j =1

k =1

j =1

αk akj e j = β j e j –

β j = αk akj . 2

j =1 k =1

j =1

k =1

α gˆ

+ + α

gˆ

n .

" α1 gˆ1 + + αm gˆm = 0 .

β1 = β2 = = βm = 0 . %

α1 g1 + + αm gm = 0 e1 + + 0 em = 0 . !

αk

> 0 αk .

k =1

% ,

g1 , , gm –

L .

( ). L – % (%

') L ≠ {0} . ' L

% e , , e e′, , e′ – L . *

e , , e

– , e′, , e′

–

m ≤ n .

II. e′, , e′

–

, e , , e – n ≤ m .

$ I, II ,

m = n .

. .

. ' %

- (

. dim L – L . ! dim L = m , L –

m .

. , L = {0}, dim L = 0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
10.05.2014189.1 Кб294Билеты к экзамену.docx
#
10.05.2014218.25 Кб20Билеты по Линалу (2011).jpg
#
10.05.201428.67 Кб59Билеты по линалу.doc
#
10.05.201432.77 Кб22Билеты.doc
#
10.05.20143.61 Mб93Еще шпоры по ЛинАл.doc
#
10.05.2014501.35 Кб58Лекции по ЛинАл.pdf
#
10.05.20144.36 Mб67Лекции по линалу.pdf
#
10.05.201498 б24Лекции.txt
#
10.05.2014579.58 Кб121линал (шпоры)13.doc
#
10.05.2014112.08 Кб79Шпоры по лин. ал.docx
#
10.05.2014579.58 Кб186шпоры по линалу.doc