Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Лекции по ЛинАл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

501 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

. dim n = n, . . e = (1, 0, 0, 0), e			= (0,1, , 0, 0), , e = (0, 0, , 01) – n
	1	2	n
( ).
' .
#.	dim L = n	f1 , f2 , ,	fn – ' L .
f1 , f2 , , fn	– ' L .
. % ,		f1 , , fn . . g L

f1 , , fn , g ( ). f1 , , fn

, . . L .

. .

# ( n ). $ , dim n = n . &

gk = (ak1 , ak 2 , , akn ) n , k = 1, n . ' .

g , , g			n		det A ≠ 0
1		n
	a		a	a
		11	12	1n
A	= a21		a22	a2n .


	an1		an 2	ann

§12. #

% L – , L ≠ {0} (dim L ≥ 1) . &

Lo L, Lo ≠ .

. % Lo % % L ,

1.	f , g Lo f + g Lo .
2.	f Lo λ λ f Lo .

% Lo – L . *

1.θ Lo .

2. , f1 , , fn Lo λ1 , , λn , λ1 f1 + + λk fk Lo .

3.1 .

1. g Lo . ) 0 . % 0 g = θ Lo ( 2.).

2., I,II.

3.( Lo . *. . Lo

0, . Lo – .

(

1.Lo = {0}, Lo L , . . Lo .

2.Lo = L , . . Lo .

1. 2. ( ).

% ( % %.

3.	L = n , n ≥ 2. % k	{		}
			1, 2, , n −1 , k – . &
	Lk = {( x1 , , xk , 0, 0, , 0) n : x1 , , xk } n . Lk – n
	( ).
!, dim Lk = k				1 ≤ dim Lk ≤ n −1. 2 .

. L – %, dim L = n ≥ 2 . Lo –

% % L ( . . Lo ≠ {0} Lo ≠ L ). Lo , % 1 ≤ dim Lo ≤ n −1.

. *. . Lo ≠ {0} , e1 Lo e1 ≠ 0 . ( {e1} ,

, L0 .

%	, - - : n
.
%	f1 , , fn L0 ( L) f1 , , fn – . +

dim L , – L ( . §11). ( L0 = L ,

. (, f1 , , fn . *

, L0 (n −1) .

8 e1 L0 . e1 → e1 , e2 → e1 , e2 , e3 → → e1 , , ek , k ≤ n −1.

% k ≤ n −1	,
L0 .
(, e1 , , ek	– L0 dim L0 = k , 1 ≤ k ≤ n −1 .


% f1 , , fk			– L ( L – ).
.			1 f1 , , fk
(!				< f1 , , fk > ).
*			< f1 , , fk >= {α1 f1 + + αk	fk : α1 , ,αk } L .
".	< f1 , , fk > – % % L .
. % f , g < f1 , , fk > , . . f = α1 f1 + + αk fk					g = β1 f1 + + βk fk .
*	1)	f	+ g = (α1 + β1 ) f1 + + (αk + βk ) fk < f1 , , fk > .
	2)	λ f = λα1 f1 + + λαk fk < f1 , , fk > .
' &.			%, dim < f1 , , fk >= rank { f1 , , fk } .

§13. . ()&

% . &

a x + a x + + a x = 0,					a x + a x + + a x = b ,
11 1		12 2	1n n		11 1		12 2	1n n	1
a	x + a x + + a x = 0,				a	x + a x + + a x = b ,
	21 1	22 2	2n n	(13.0)		21 1	22 2	2n n	2	(13.1)

		+ am 2 x2	+ + amn xn = 0.				+ am 2 x2	+ + amn xn = bm .
am1 x1		+ am 2 x2	+ + amn xn = 0.		am1 x1		+ am 2 x2	+ + amn xn = bm .

+	Ax = 0 (13.0)		Ax = b (13.1).
! A = A		= (a ) ,	x n ,	b m ,
	( m×n )	ij
	( m×n )
x				b
1				1
x = x2	= [x1 , , xn ] −	-		b = b2	= [b1 , , bn ]
		,

xn				bn

−

L0 = { x n	: Ax = 0}	– - (13.0),
L = { x n	: Ax = b}	– - (13.1).
/ L0 , . . 0 L0 .
% L ≠ ( , (13.1) – ).
. f n – (13.1) ( . . f L , f				– +).

			L = f + L0 ≡ { f + x : x L0 }.	(13.2)

* - -

- .

. % f – - (13.1) ( . . f L ).
.	&	x L0	( - )
	A( f + x) = Af + Ax = b + 0 = b				( f + x) L		( f + L0 ) L .
.	&	xy L . %		x = y − f		Ax = A( y − f ) = Ay − Af = b − b = 0
	x = y − f L0		y = f + x			x L0		L f + L0 .
$ . . ,			L = f + L0 .

* . $

- .

1. % (13.1) . &- (13.1)

, (13.0) -

x1 = x2 = = xn = 0 .

2. % L0 = {0} ( . . (13.0)

- ). * b m (13.1)

- .

(13.2). -

. L0 – % % n ( . . $ (

' % %).

. % .

1)	% x, y L0	A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0		(x + y) L0 .
2)	% x L0 , λ		A(λ x) = λ Ax = λ 0 = 0	(λ x) L0 .
$ 1), 2) , L		– n .
	0

! L0 .

	6 -	L0
	(13.2)	L0
	(13.2)	f
	:	L
	:	0
		0

. 2 (3(&)

(13.0) - .

1). (13.0) 3(& .

2), L0 = {0} , 3(& .

I) & (13.0). ( 2%

j1			j2		jr
	1	*	0	*	0	*
	0	0	1	*	0	*	r
	0	0	1	*	0	*	r
		0
0		0				*	.
	0			0	1	*
	0			0	1	*
	0	0

II)				x j				, x j	, , x j	,
							1	2		r

- .

III) $ :

1	0	0	0	0
	1	0	0
0	1	0	0	0
				(n − r) ,

	0	0	0
0	0	0	0	1

(n − r) - (13.0).

, - , - (13.0)

. (, (3(&).

#. dim L0 = n − r , dim L0 – -

L0 , n – , r = rank A .

. " 3(&.

	x + x + x + x = 0													1 1 1 1								1 1 1 1								1 0 −1 −2
	1		2	3	4																									1 0 −1 −2
)	x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0													1 2 3 4							~		0 1 2 3					~				.
		+ 3x2 + 5x3 + 7 x4 = 0																					0 2 4 6							0 1 2 3
	x1	+ 3x2 + 5x3 + 7 x4 = 0												1 3 5 7									0 2 4 6
- :							x1 = x3 + 2x4 ,														x2 = −2x3 − 3x4 .
											x1			x2				x3	x4
3(& :					f1 =				1					−2				1	0		( ( ) ,
					f1 =				1					−2				1	0
					f2		=		2					−3				0	1
							=		2					−3				0	1		.
																					.
					x							1							2
							1														c1			c2		–
- :					x2							−2							−3		c1			c2		–
- :					x			= c1				1 + c2 0 ,
					x			= c1				1 + c2 0 ,									( c , c ).
							3					0							1		( c , c ).
	{ 1				x							0							1								1	2
)	{ 1	2	3	4	4									1				2		3	4
)	x	− x	+ 2x	+ 4x	= 0		,							x	= x				− 2x −		4x .
											x1			x2				x3	x4		x					1		−2				−4
																					x					1		−2				−4
					f =					1			1			0			0			1
						1															x2				1 + c			0 + c			0 .
3(& :					f		=				−2		0					1	0		x2			= c	1 + c			0 + c			0 .
						2															x			1		0	2	1		3		0
					f	3	=				−4		0			0			1		3
)	3x1 − 5x2 + 7 x3 = 0 .					3															x4				0			0			1
																					x4				0			0			1

											x1			x2				x3			x					5		−7
					f1 =						5			3				0				1
- :					f1 =						5			3				0			x2			= c1		3 + c2		0	.
- :																					x2			= c1		3 + c2		0	.
					f2 =						−7			0			3
																					x3					0		3
																					x3					0		3

§14. ($ %

- .

. A = A ( ).

( n×n)

( : 1) A – , . . det A ≠ 0 ;

2)A−1 ( );

3)( Ax = b - b ;

4)Ax = 0 - ;

5)rank A = n ;

6)( ( ) ;

7)( ( ) n .

' &. %

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
10.05.2014189 Кб300Билеты к экзамену.docx
#
10.05.2014218 Кб20Билеты по Линалу (2011).jpg
#
10.05.201429 Кб63Билеты по линалу.doc
#
10.05.201433 Кб24Билеты.doc
#
10.05.20144 Мб99Еще шпоры по ЛинАл.doc
#
10.05.2014501 Кб64Лекции по ЛинАл.pdf
#
10.05.20144 Мб72Лекции по линалу.pdf
#
10.05.201498 б28Лекции.txt
#
10.05.2014580 Кб127линал (шпоры)13.doc
#
10.05.2014112 Кб88Шпоры по лин. ал.docx
#
10.05.2014580 Кб207шпоры по линалу.doc