П.6 непрерывность функции двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция или называется непрерывной в точке , если она

1. определена в этой точке и некоторой ее окрестности

2. имеет предел

3. И этот предел равен значению функции в этой точке или

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке) называются точками разрыва.

Точки разрыва функции могут образовывать целые линии разрыва.

Так функция имеет линию разрыва .

П.7. Частные производные

Дадим аргументу приращение , а приращение , тогда функция получит наращенное значение .

Величина - называется полным приращением функции в точке с координатами .

Если задать только приращение по : или только приращение по : , то полученные приращения функции называют частными приращениями.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

ПРИМЕР: Найти частное и полное приращение функции

РЕШЕНИЕ:

и

Теперь посмотрим чему равно полное приращение функции:

Получили, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частной производной нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует)

Обозначается

Таким образом

П.8 частные производные высших порядков

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции тоже могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Так , .

ПРИМЕР: Найти частные производные второго порядка функции

РЕШЕНИЕ:

Так как , а

Получаем и

Получили, что .

Этот результат не случаен, оказывается справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА: (ШВАРЦА) Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем

9