П 3. График функции

Очевидно, что график функции одной переменной гораздо проще, чем график функции двух переменных.

Пусть задана функция .

Возьмем какую-то точку из области , в системе координат ей соответствует точка , где - аппликата точки .

Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию .

НАПРИМЕР: 1) Так, например, графиком функции   является верхняя половина сферы на рисунке ниже, а графиком функции - нижняя половина сферы. 

функция имеет область определения круг радиуса 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке и радиусом .

2) Возьмем функцию или - графиком функции является параболоид.

Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции 2 переменных, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линией уровня функции 2 переменных называется множество точек на плоскости таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно константе .

Число в этом случае называют уровнем.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Линией уровня обозначают глубину морей и высоту гор на географических картах. Аналогичные линии описывают распределение тех или иных веществ в почве, распределение среднесуточной температуры.

ПРИМЕР: Построить линии уровня функции .

Очевидно, что это поверхность, пересечем ее плоскостью ( ).

Задавая различные , получаем семейство линий уровня, представляющих собой окружности, разного радиуса. При окружность вырождается в точку. Из того, что линиями уровня оказались окружности с центром в начале координат, следует, что графиком функции должна быть поверхность вращения вокруг . Из аналитической геометрии известно, что это параболоид вращения.

П4. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности. Аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки.

- окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в и радиусом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество всех точек плоскости , координаты которых удовлетворяют неравенству , называется - окрестностью точки .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой этой точки. Число называется пределом функции при , (или что то же самое ), если для каждого существует такое , что для всех , и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

или

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому (число таких направлений бесконечно). А для функции одной переменной по двум направлениям: справа и (или) слева.

П5.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Каково бы ни было число , найдется -окрестность точки , что во всех точках , аппликата соответствующих точек поверхности отличается о числа по модулю меньше чем на .

Просто: если точки на плоскости, с координатами принимают все более близкие значения к , или говорят стягиваются к , то соответствующие значения от этих начинают стягиваться (или принимать все более близкие значения) к , т.е. .

ПРИМЕРЫ:

1) Найти предел:

РЕШЕНИЕ: Будем приближаться к точке по прямой , где - некоторое число.

Таким образом, получили, что функция в точке предела не имеет, т.к. при разных значениях предел функции не одинаков. (функция имеет различные предельные значения)

Предел функции не должен зависеть от способа приближения к точке , например по прямой или .

2. Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим при равносильно, что .

Запишем предел в виде

2. Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

1) По любой прямой   предел один и тот же:

2) С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой  . Тогда

;

следовательно, предел не существует.

Вычисление предела функции двух переменных труднее, чем для функции одной переменной. Это в первую очередь связано с тем, что на прямой два способа стремления к какому-то значению, а на плоскости бесконечно много, и по разным направлениям пределы могут не совпадать.